Ecuacion de cuarto grado

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Ecuación de cuarto grado
I El caso general
Una ecuación de cuarto grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
donde a,b,c, d y e (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuartoorden, pues equivale a extraer raíces caudradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida:
(a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4.En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
El métodosigiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo, eso sí, depués de un largo cálculo.
Los pasos de la resolución son:
Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:
x4 +b'x3 + c'x2 + d'x + e' = 0 , con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a y e' = e/a
Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/4, para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarollar (z - b'/4)4 con laidentidad precedente, vemos aparecer el término -b'z3, compensado exactamente por b'z3 que aparece en b'(z - b'/4)3. Se obtiene:
z4 + pz2 + qz + r = 0, con p, q y r números del cuerpo.
Y ahora, laidea genial: factorizar lo anterior en (z2 + αz + β )( z2 - αz + γ), lo que es posible porque no hay z3 en el polinomio.
Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos lascondiciones:
β + γ - α2 = p (coeficiente de x2)
α( γ - β ) = q (coeficiente en x)
βγ = r (término constante)
Después de algunos cálculos, hallamos :
α6 + 2pα4 + (p2 - 4r)α2 - q2 = 0 Es unaecuación del sexto grado, pero si miramos bien, α sólo aparece con potencias pares.
Pongamos A = α2. Entonces:
A3 + 2pA2 + (p - 4r)A - q2 = 0, lo que se sabe resolver porque es una ecuación de tercer...