Ecuacion De Onda En Tres Dimensiones
Páginas: 2 (274 palabras)
Publicado: 5 de marzo de 2013
ECUACION DE ONDA EN TRES DIMENSIONES
La función de onda Φ(x,y,z,t) dada por la ecuación Ψ(x,y,z,t)=Aei[k(ax+by+γ=+-wt)] es una solución particular de la ecuacióndiferencial en tres dimensiones, entonces calcularemos las derivadas parciales de la ecuación diferencial en tres dimensiones y quedaría de la siguiente manera:[pic].......................EC 1
[pic]........................EC 2
[pic].......................EC 3
[pic]............................EC 4
Al sumar las tresderivadas parciales y sabiendo que α2 + β2 + γ2 = 1, obtenemos:
[pic]..............EC 5
Al combinar este resultado con la derivada del tiempo y recordando que
v = ω/ k, obtenemos:
[pic]....................EC 6
Esta ecuación (6) se escribe de una manera más concisa, introduciendo el operador Laplaciano y quedaría de la siguientemanera:
[pic].............EC 7
Que pasa a ser simplemente:
[pic].................EC 8
A partir de esta ecuación (8), retomamos lo que es la onda planapara ver como se adecua al esquema. Una función de la forma:
[pic]........................EC 9
Esta ecuación (9) es equivalente a la ecuación que utilizamos en unprincipio (Ψ(x,y,z,t)=Aei[k(ax+by+γ=+-wt)]) y entonces sería una solución de la ecuación (8). También podemos demostrar que:
ψ(x,y,z,t) = f(αx + βy + γz − vt)
yψ(x,y,z,t) = g(αx + βy + γz + vt)
Ambas son soluciones de onda plana de la ecuación diferencial de onda. Las funciones f y g, que son diferenciables dos veces, nonecesitan ciertamente ser armónicas. Una combinación lineal de estas soluciones es también una solución, y quedaría de la siguiente forma:
Donde C1 y C2 son constantes.
La función de onda Φ(x,y,z,t) dada por la ecuación Ψ(x,y,z,t)=Aei[k(ax+by+γ=+-wt)] es una solución particular de la ecuacióndiferencial en tres dimensiones, entonces calcularemos las derivadas parciales de la ecuación diferencial en tres dimensiones y quedaría de la siguiente manera:[pic].......................EC 1
[pic]........................EC 2
[pic].......................EC 3
[pic]............................EC 4
Al sumar las tresderivadas parciales y sabiendo que α2 + β2 + γ2 = 1, obtenemos:
[pic]..............EC 5
Al combinar este resultado con la derivada del tiempo y recordando que
v = ω/ k, obtenemos:
[pic]....................EC 6
Esta ecuación (6) se escribe de una manera más concisa, introduciendo el operador Laplaciano y quedaría de la siguientemanera:
[pic].............EC 7
Que pasa a ser simplemente:
[pic].................EC 8
A partir de esta ecuación (8), retomamos lo que es la onda planapara ver como se adecua al esquema. Una función de la forma:
[pic]........................EC 9
Esta ecuación (9) es equivalente a la ecuación que utilizamos en unprincipio (Ψ(x,y,z,t)=Aei[k(ax+by+γ=+-wt)]) y entonces sería una solución de la ecuación (8). También podemos demostrar que:
ψ(x,y,z,t) = f(αx + βy + γz − vt)
yψ(x,y,z,t) = g(αx + βy + γz + vt)
Ambas son soluciones de onda plana de la ecuación diferencial de onda. Las funciones f y g, que son diferenciables dos veces, nonecesitan ciertamente ser armónicas. Una combinación lineal de estas soluciones es también una solución, y quedaría de la siguiente forma:
Donde C1 y C2 son constantes.
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