Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
De¯nici¶on: Una ecuaci¶on diferencial lineal de orden n de la forma
an(x) dn y
dxn + an¡1(x) dn¡1y
dxn¡1 + : : : + a1(x) dy
dx + a0(x) y = 0es homog¶enea, mientras que una ecuaci¶on
an(x) dn y
dxn + an¡1(x) dn¡1y
dxn¡1 + : : : + a1(x) dy
dx + a0(x) y = g(x)
con g(x) 6= 0, es no homog¶enea.
De¯nici¶on: Al problema de resolver laecuaci¶on diferencial lineal de orden n
sujeta a
y(x0) = y0; y
0(x0) = y
0
0 ; : : : ; y(n¡1)(x0) = yn¡1
0
donde y0 ; y
0
0 ; : : : ; y(n¡1)
0 son constantes arbitrarias, es llamado Problemade
valores iniciales.
Principio de superposici¶on, ecuaciones homog¶eneas.
Sean y1 ; y2 ; : : : ; yk soluciones de la ecuaci¶on homog¶enea de n-¶esimo orden
en un intervalo I, entonces lacombinaci¶on lineal
y = c1 f1(x) + c2 f2(x) + : : : + cnfn(x)
donde ci con i = 1; 2; 3; : : : ; k son constantes arbitrarias tambi¶en es una soluci¶on
en el intervalo.
| Corolarios:
i) Un m¶ultiplo cte y =c1 y1(x) de una soluci¶on y1(x) de una ecuaci¶on diferen-
cial lineal homog¶enea es tambi¶en una soluci¶on.
ii) Una ecuaci¶on diferencial lineal homog¶enea posee siempre la soluci¶on trivial
y =0.
1
F Dependencia e independencia lineal.
De¯nici¶on: Un conjunto de funciones f1(x) ; f2(x) ; : : : ; fn(x) es linealmente
dependiente en un intervalo I si existen constantes c1; ; c2; ; : : : ;cn no todas cero,
tales que
c1 f1(x) + c2 f2(x) + : : : + cnfn(x) = 0
para toda x en el intervalo.
Ahora si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se
dice que eslinealmente independiente.
¨ Independencia lineal de 2 funciones:
Se dice que dos funciones de¯nidas en un intervalo abierto I son linealmente
independientes en I si ninguna de ellas es unm¶ultiplo constantes de la otra.
Se puede determinar que 2 funciones f y g son l.d (linealmente dependientes)
en I si el cociente f
g ¶o g
f , se obtiene una funci¶on de valor constante.
Ahora si el...
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