Ecuaciones Diferenciales De Segundo Orden Reducibles A Primer Orden

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN 3
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN 4
1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN REDUCIBLES A PRIMER ORDEN 4
1.1. Ecuación diferencial de la forma d2ydx2 =f(x,dydx) 4
1.2. Ecuación diferencial de la forma d2ydx2 =f(y,dydx) 8
1.3. Ecuación diferencial de la forma d2ydx2 =f(y,(dydx)2) 111.4. Ecuación diferencial de la forma d2ydx2 =fy 14
2. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN 16
CONCLUSION 21
BIBLIOGRAFÍA 22

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales aparecen en modelos matemáticos que tratan de describir situaciones de la vida real. Así, muchas leyes naturales pueden ser traducidas al lenguaje matemático mediante ecuaciones que envuelven derivadas,como en física, donde la velocidad y la aceleración aparecen como derivadas; en biología, la derivada se utiliza como una razón de crecimiento de poblaciones; en química, como rapidez de reacciones, entre otros más.
En el presente trabajo se abordaran las ecuaciones diferenciales de segundo orden ya que representan un pilar muy importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Esto esdebido a que muchos de los fenómenos físicos y de la Ingeniería no pueden ser expresados matemáticamente a través de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por ejemplo, en la segunda ley de Newton, la aceleración se expresa por medio de la segunda derivada.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Una ecuación diferencial de segundo orden es aquella que posee segundas derivadas (y”), porejemplo:
xy"+y´+xy2=0 (1+x2)y"-2xy´=y 3x2 d2ydx2 -dydx+ exseny= 0

En general este tipo de ecuaciones son difíciles de resolver, sin embargo, para algunos tipos especiales se conocen sustituciones que transforman la ecuación de segundo orden en una de primer y que puede resolverse en forma rápida por los distintos métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden.

1.ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN REDUCIBLES A PRIMER ORDEN
Considerar los siguientes casos:
2.1. Ecuación diferencial de la forma d2ydx2 =f(x,dydx)

Una ecuación diferencialF(x,y´;y") se puede expresar comod2ydx2 =f(x,dydx)(1)estas ecuaciones contienen la variable independiente (x), la primera y la segunda derivada más no su variable dependiente (y), para poder resolverla serealiza una sustitución de variables, haciendo p=dydx (2)
Por lo tanto d2ydx2=ddydx=ddxp=dp/dx (3)

Reemplazando (3)y (2) en (1)obtenemos la siguiente ecuación:
dpdx=f(x,p)

De esta forma se ha logrado convertir en una ecuación de primer orden y puede resolverse por métodos ya conocidos.

Ejemplo 1.(Ecuaciones diferenciales Yutakeuchi; página 92, ejercicio 04)

1+x2d2ydx2+xdydx+ax=0 (1)

La ecuación (1) no contiene y, entonces reemplazandody/dx=p y d2ydx2=dp/dxen dicha ecuación, obtenemos que:

1+x2dpdx+xp+ax=0 Al haber reducido su orden procedemos a resolverla → 1+x2dpdx =-p+ax

dpdx =-p+ax/1+x2 → dpdx =-px(1+x2)-ax1+x2

dpdx+x(1+x2)p=-ax1+x2

Estaes una ecuación lineal ya que tiene la formadpdx+ Pxp=Q(x)
y su solución es:
P= C1+QxePxdxdxe-Pxdx(3)

DondePx= x1+x2 (4) Qx= -ax1+x2 (5)
Pxp = x1+x2 dx → Pxp =12Ln(1+x2)
Entonces:
ePxdx= (1+x2)1/2 (6) e-Pxdx= (1+x2)-1/2 (7)

Reemplazo (4) (5) (6) y (7) en(3):
P= C1+ -ax1+x2*(1+x2)1/2dx(1+x2)-1/2

P= C1- ax(1+x2)1/2dx(1+x2)-1/2 → P= C1- ax(1+x2)1/2dx(1+x2)-1/2

Sea u=(1+x2)du=2x dx → dx=du2x
Reemplazo u y dx e integro:
P= C1- ax(u)1/2du2x(1+x2)-1/2→ P= C1-a2du(u)1/2(1+x2)-1/2

P= C1-a u12(1+x2)-12= C1-a 1+x212(1+x2)-12
= C1*(1+x2)-1/2-a

Como p=dydx entonces dydx= C1*(1+x2)-1/2-a integramos nuevamente obteniendo:
dy= C1*(1+x2)-12-adx → y= C11+x212dx- adx
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y =C1Ln x+ 1+x212– ax+C2

Ejemplo 2. (Ecuaciones diferenciales...