Ecuacion diferencial lineal

.1.2 Condiciones iniciales en una ecuación diferencial.


Independiente del grado de la ecuación diferencial, a fin de obtener las soluciones de las ecuaciones diferenciales se puede presentarcondiciones que limitan la solución. En forma particular, obtener la solución de una ecuación de primer grado, que será nuestro punto de partida, bajo una condición inicial se traduce a la obtenciónde la solución de una ecuación


sujeta a la condición , conocido este último como condición inicial. En general, cuando se presenta la ecuación diferencial y las condiciones iniciales elproblema se conoce como problema de valor inicial.

Ejemplo:
Dada una solución uniparamétrica

esta constituye una familia de soluciones de alguna ecuación diferencial, sin embargo la condicióninicial es nos conduce a la solución
¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales?



Observamos que la primera ecuación no es lineal ya que la función no aparece deprimer grado, la segunda si expresión si es lineal ya que tanto las derivadas, , como la función, y, son de primer grado. En el tercer caso las derivadas de la función no son de primer grado, aparece unasegunda derivada en la expresión, por lo que la linealidad no existe. La última expresión si es lineal, al igual que la segunda expresión ya que tanto la función como la primera derivada son deprimer grado.
Realicemos el siguiente análisis para determinar como es la solución de la expresión. Considerando que



Por lo que


Haciendo


La solución es vista como:Multiplicando por


Tendríamos


Encuentre la solución para las siguientes ecuaciones diferenciales




Solución para a). Encontremos la solución para el primer incisoColoquemos la expresión diferencial lineal de la forma


Por lo que multiplicando la expresión por 3 tenemos



Comparando la expresión para las ecuaciones lineales y la expresión:...