Ecuacion diferencial

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ECUACIÓN DIFERENCIAL

Condiciones Iniciales

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a xo, el problema

Resolver: dny = F(x, y, y',..., y(n-1))

dxn

Sujeta a: y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , Y(n-1)(x0) = y n-1,

En donde y0, y1 ,..., yn-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) = y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales.

Condiciones De Linealidad

Se dice que una ecuación difenecial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n-1)) es linealcuando f es una función lineal de y, y',..., y(n-1). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma

an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)

dxn dx n-1 dx

en esta ultima ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:

La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, lapotencia de todo termino donde aparece y es 1.

Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.

Factor Integrante

El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo bernoulli para poder obtener su solución.

Familia De Curvas

Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamientovertical u horizontal de la grafica de la función, genera una familia de curvas.

función Homogénea

Cuando una función f tiene la propiedad

F(tx,ty) = ta f(x,y)

Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a; por ejemplo, f(x,y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, porque

F(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3(x3 + y3)= t3f(x,y).

mientras que f(x,y = x3 + y3 + 1 no eshomogénea. Una ecuación diferencial de primer orden,

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado.

Ecuación Diferencial

Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas y´, y´´,...,y(n), es decir, una ecuación de la forma:

En otras palabras,se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figura la derivada o la diferencial de la función incógnita.

Diferencial Exacta

Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Es una ecuacióndiferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial

dy + P(x)y = f(x)yn

dx

en que n es cualquier numero real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuacion lineal.

Clasificación De Las Ecuaciones Diferenciales

TIPOOrdinarias y parciales

Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones mas obvias se basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuacióndiferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.

Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias:

1.-

2.-

ORDEN.

El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de...
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