Ecuacion lineal

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Estudio de Ecuaciones lineales
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dos herramientas matemáticas que nos van a facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius-.
Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos:
¿Tiene soluciones el sistema?, es decir, ¿es compatible?
Si tiene soluciones ¿cuántas y cuáles son?
Visto esto, estudiar un sistema es:
DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas.
ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVERPreliminares:
La ecuación  2x - 3 = 0  se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.
La ecuación  -3x + 2y = 7  se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.
La ecuación  x -  2y + 5z  = 1  se llama ecuación lineal de tresvariables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.
En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo:

Ecuaciones Lineales:
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todasellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:

un sistema así expresado tiene  "m" ecuaciones y  "n"  incógnitas,
donde  aij  son números reales, llamados coeficientes del sistema,
los valores  bm  son números reales, llamados términos independientes del sistema,
las incógnitas  xj  son las variables del sistema,
y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas  x1, x2, ... , xn  por los valores  s1, s2,..., sn   se verifican a la vez las  "m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :

Donde:
* Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión  m×n  formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
* Designamos por  X  a la matriz columna formada por las incógnitas.
* Denotamos por  B  a la matrizcolumna formada por los términos independientes.
Y llamamos matriz ampliada de dimensión  m×(n+1)  a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por  A*, es decir

Clasificación:
Atendiendo a sus soluciones:

Atendiendo a sus términos independientes:

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:
Vamos a recordarla idea básica de los tres métodos que ya conocemos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas:
* Método de sustitución: Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra...
* Método de igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas...
* Método de reducción: Se prepararan las dos ecuaciones(multiplicando por los números convenientes) para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Al restarlas desaparece esa incógnita...
* RESOLUCIÓN GRÁFICA:
* Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se representan las dos ecuaciones en un sistema de coordenadas y los puntos de intersección son las soluciones; en este caso, cada ecuación...
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