Ecuaciones cuadraticas

Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

5. ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS
Hemos analizado hasta el momento las ecuaciones lineales y funciones lineales. Es momento de empezar a introducirnos en las ecuaciones de grado superior. Las ecuaciones de segundo grado merecen estudiarse aparte; es por ello que en la primera sección veremos y resolveremos ecuaciones de segundo grado o ecuacionescuadráticas, y en la siguiente sección abordaremos el tema desde el punto de vista funcional. En principio resolveremos las ecuaciones de segundo grado en forma algebraica, distinguiremos raíces y soluciones, analizaremos el discriminante para terminar con el procedimiento de completar cuadrados. Todo esto nos permitirá luego reconocer todos los aspectos geométricos de la gráfica de una funcióncuadrática, y nos posibilitará resolver situaciones problemáticas. Es así como podremos identificar el vértice, el eje de simetría y las raíces de una parábola, y sólo viendo la función cuadrática podremos tener una idea aproximada de su gráfica. Comenzamos con la siguiente situación:

Dido: la fundadora de Cartago. Cuenta la historia que cuando Dido, perseguida por su cruel hermano, asentó sus pies en loque luego sería Cartago, negoció con el rey del lugar, Iarbas, la compra del terreno necesario para fundar una factoría. Iarbas aceptó en un precio ridículamente bajo pues el trato consistía en que debía entregar la tierra abarcada por la piel de 3 bueyes. Cerrado el trato, la astuta Dido cortó en finas tiras dicha piel logrando entonces abarcar mucho más de lo que Iarbas había pensado entregar.Además la belleza de Dido ayudó a que Iarbas se dejase engañar. Si el trato hubiera sido que la parcela tenía que ser rectangular, ¿que rectángulo hubiese convenido a Dido construir?

Fijemos un perímetro y empecemos a conjeturar sobre los diferentes rectángulos. Supongamos que el perímetro es 24 y designemos con b y h las medidas de la base y la altura del rectángulo, entonces tenemos: b 1 2 3 45 6 7 8 9 10 11 12 h Per = 24 bh 11 20 27 32 35 36 35 32 27 20 11

11 2.1 +2.11 10 2.2 +2.10 9 2.3+2.9 8 2.4+2.8 7 2.5+2.7 6 2.6+2.6 5 2.7+2.5 4 2.8+2.4 3 2.9+2.3 2 2.10+2.2 1 2.11+2.1 no tiene solución

Observamos que en este caso, de perímetro 24, el rectángulo de área máxima se obtiene para b = h, es decir para el cuadrado. Es decir que a Dido le hubiese convenido construir un cuadrado.En la resolución de este ejemplo hay ecuaciones de segundo grado que es lo que abordaremos a lo largo de la unidad.
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5.1. E CUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado. Una ecuación de segundo grado con una incógnita, es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R y a ≠ 0. Sonejemplos de ecuaciones de segundo grado x 2 + 16 = 0 x 2 - 7 x - 18 = 0 pues el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita es dos.

Ecuación de segundo grado

Más ejemplos: 3 y - y2 = 0 3 x2 - 48 = 0 9 t2 - 6 t + 1 = 0

Ejemplos: 4 x2 - 4 x + 1 = 0 x2 - 6 x - 16 = 0 - 3 x2 - 6 x + 12 = 0

La ecuación puede ser completa : a x2 + b x + c = 0 con a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. o puede serincompleta:

3 x - x2 = 0 3 x2 - 48 = 0 4 x2 = 0

• • •

b ≠ 0 , c = 0 del tipo b = 0 , c ≠ 0 del tipo b = 0 , c = 0 del tipo

a x2 + b x = 0 a x2 + c = 0 a x2 = 0

Toda ecuación de segundo grado con una incógnita, tiene dos raíces que denotaremos x 1 y x 2 . Las soluciones o raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado de la forma a x2 + b x + c = 0 con a ≠ 0 pueden obtenerse a través de laconocida fórmula de Bhaskara reemplazando los coeficientes a , b , c en las siguientes expresiones: x1 =
− b + b 2 − 4ac , 2a

Soluciones o raíces

x2 =

− b − b 2 − 4ac 2a

Podemos escribir en forma abreviada: x 1,2 = − b ± b 2 − 4ac 2a

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La expresión del radicando

Discriminante

b2 – 4ac se llama discriminante de la ecuación...