Ecuaciones Euler-Lagrange

Ecuaciones de Euler-Lagrange
Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos 
Ecuaciones de Euler-Lagrange en física 
Caso discreto 
En mecánica clásica, estasecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo. Los sistemas de partículas o sistemas discretos tienen un número finito de grados de libertad, y en esos casos la integral de acción es del tipo:

Y su correspondiente variación viene dada por:

Si se impone ahora que  para variaciones "cercanas", esto implica que:

donde L es el lagrangiano para el sistema,y  son las coordenadas generalizadas del sistema.
Caso continuo 
La formalización de ciertos problemas físicos requiere construir una integral de acción sobre un continuum o sistema que no puede ser tratado mediante un número finito de variables o grados de libertad. Así en teoría de campos y mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre un volumen:Donde  es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y  representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la acción toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumación de Einstein, vienen dadas por:

Mecánica lagrangiana de lapartícula 
Un ejemplo de problema mecánica simple es el de una partícula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano:

La función lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque según el tipo de problema también puede escribirse un lagrangiano en en términos de cualquier tipode coordenadas generalizadas:

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el caso de las coordenadas cartesianas se reducen a la segunda ley de Newton para la partícula:

Teoría de campos 
La teoría clásica de campos es un buen ejemplo del caso multidimensional anteriormente descrito. Así por ejemplo las ecuaciones de Maxwell no son otra cosa que las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadasal "lagrangiano" de Maxwell. La densidad lagrangiana de Maxwell viene dada por:
(*)
Donde el primer término es el lagrangiano de interacción y el segundo el lagrangiano del campo electromagnético libre y además:
, son los campos eléctrico y magnético.
, son la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente asociada a las cargas que interactúan con el campo.
, son el potencial eléctrico yel potencial vectorial del campo.
Considerando aquí el campo descrito por los potenciales , los campos eléctrico y magnético son expresables en términos de sus derivadas:

Todos estos términos substituidos en la ecuación de Euler-Lagrange (*) nos lleva a las ecuaciones de Maxwell. Si a la densidad lagrangiana anterior le agregamos, la densidad lagrangiana de la materia en interacción con el campoelectromagnético viene dado por:

Cuando esta parte se tiene en cuenta también se recupera la expresión para la fuerza de Lorentz.
Aplicaciones en mecánica cuántica 
Un artículo influyente, para la introducción del formalismo lagrangiano en la mecánica cuántica, fue el de Paul Dirac de 1932. El artículo titulado “El lagrangiano en Mecánica Cuántica” comienza de la siguiente manera:
“La mecánicacuántica fue construida sobre la base de la analogía con el hamiltoniano de la mecánica clásica. Esto se debe a que se encontró que la clásica noción de coordenadas canónicas y momentos es similar a la análoga cuántica, como resultado del cual la totalidad de la teoría clásica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida sobre esta noción, debería ser tomada sobre todos sus...