Ecuaciones de maxwell

Las ecuaciones de Maxwell
Un repaso de lo visto, algunas cosas faltantes y un camino abierto a temas más complejos
Mucho del tiempo empleado hasta el momento ha sido dedicado al estudio de los campos eléctricos y magnéticos de los que hemos aprendido las propiedades más importantes, las que resumimos aquí para tenerlas en forma compacta. La primera es conocida como la ley de Gauss referida alcampo eléctrico. Las cargas eléctricas son las fuentes (sin son positivas) o sumideros del campo eléctrico (si son negativas). Las líneas de campo eléctrico nacen en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. La mencionada ley establece que si consideramos una superficie cerrada S entonces el flujo del r campo eléctrico E a través de dicha superficie es proporcional al total de lacarga eléctrica encerrada (Qenc) en el volumen Vol limitado por la superficie S (usamos Vol para el volumen en lugar de V porque esta última la reservamos para otra magnitud).
r r Q 1 E ⋅ dS = enc = ∫
S

ε0

ε0

∫

Vol

ρ dVol (1)

El factor ε0 (permitividad dieléctrica del vacío) refleja únicamente el sistema de unidades empleado y no es relevante. El segundo miembro de la derecha (elque involucra la integral de volumen) corresponde al caso más general de una distribución volumétrica de cargas ρ. La (1) puede ser transformada por medio del teorema del flujo (o también llamado de Gaussr Ostrogradsky) el que establece que el flujo de un campo vectorial F a través de una superficie cerrada S iguala a la integral de la divergencia de dicho vector extendida al volumen Vol limitadopor la superficie S.

∫ F ⋅ dS = ∫
S

r

r

Vol

r r ∇ ⋅ F dVol (2)

Comparando las expresiones (1) y (2) es fácil encontrar:

r r ρ (3) ∇⋅E =

ε0

Las relaciones (1) y (3) contienen la misma cantidad de información respecto del fenómeno físico. La primera está expresada en forma integral y en cierta forma (al menos en nuestro caso) es más simple de utilizar. La segunda formainvolucra derivadas parciales (a través del operador divergencia) por lo que las técnicas matemáticas para su resolución son más complejas y conviene postergarlas para Análisis III. Sin embargo enfatizamos que ambas contienen la misma cantidad de información.

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Al tratar con medios dieléctricos nos resultó conveniente introducir dos vectores extras. El r r desplazamiento D y la polarización P, el primero está asociado con las así llamadas “cargas libres” y el segundo con las de polarización. La relación entre todos ellos la sintetizamos como:
r r r D = ε 0 E + P (4)

Si el medio es lineal entonces también lo es la relación entre el campo eléctrico y la polarización r r a través de la susceptibilidad dieléctrica Χe en la forma P = ε 0 Χ e E por lo que la relación entredesplazamiento y campo eléctrico deviene en:

r r r r r r r D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 ΧE = ε 0 (1 + Χ )E = ε 0 ε r E (5) El campo eléctrico generado por una distribución estática de cargas tiene la particularidad de ser conservativo, es decir que si consideramos una curva cerrada C entonces la circulación del campo a lo largo de dicha curva es nula: r r E ⋅ dl = 0 (6) ∫

C

Todo campo vectorialconservativo admite una función potencial escalar de la que deriva, en nuestro caso elegimos el potencial electroestático V (cuidado: distingamos entre volumen Vol y potencial V).
r r E = −∇V (7)

Combinando (3) y (7) obtenemos:

r v ρ − ∇ ⋅ (∇V ) = = −∇ 2V (8)

ε0

La (8) recibe el nombre de ecuación de Poisson y es una ecuación diferencial a derivadas parciales de segundo orden que permitecalcular el potencial V en una región si se conoce la distribución de cargas y/o el potencial en el contorno de la región a estudiar. No estamos en condiciones de resolver esta ecuación salvo para un par de situaciones muy simples. Sin embargo es interesante mencionar que es la ecuación que resuelven programas como QuickField por métodos numéricos. Por otra parte, los campos magnéticos tienen su...