Ecuaciones de riccati, clairaut y lagrange

ECUACIÓN DE RICCATI
Supongamos que tenemos la ecuación diferencial y´ + a(x)y + b(x)y² = c(x); para resolverla tenemos que haber encontrado previamente una solución particular yp (x). Si este es el caso, efectuamos el cambio de la función y = yp + z, con lo cual y´ = y´p + z´y sustituyendo, y´p + z´y + a(x)( yp + z) + b(x)( y²´p + 2 yp z + z²) = c(x).
Como y´p + a(x)yp + b(x) y²p = c(x) por ser yp una solución particular, esa expresión queda z´+ a(x)z + b(x)z² + 2b(x)z yp = 0, es decir, z´+ (a(x)+2b(x) yp(x))z+b(x)z² = 0
Que es una ecuación de Bernoulli con α = 2
NOTA: Con el cambio z = u-1 en la de Bernoulli reducirá esta a una lineal, el cambio directo y = yp + 1u transforma la ecuación de Ricatti en lineal se un solo paso.
Existendiversos interesantes sobre la ecuación de Riccati. Por ejemplo, si se conoce dos soluciones y1 e y2 suyas, el cambio de la función y=y1-vy21-v lleva a que se pueda resolver la ecuación con una sola cuadratura: v=cexp((bxy2x-y2xdx) pero desafortunadamente, no hay ningún procedimiento general que permita obtener alguna solución particular, por lo que muchas veces la ecuación diferencial se Riccati noresulta integrables en términos de funciones elementales. A este respecto, resulta apropiado citar la ecuación especial de Riccati y´by² = cxm con b, c € R \ {0}; se sabe que se puede resolver en términos finitos si y solo si m = -2 o m=-4k2k+1 para algún entero k. La ecuación de Riccati es de la forma y´ + a(x)y + b(x)y² = c(x). El método requiere haber encontrado previamente una soluciónparticular yp (x). Si este es el caso haciendo el cambio de función y = yp (x) +z, la ecuación diferencial de Riccati se deduce a una de Bernoulli con α = 2.
EJEMPLO: y´+ y² = x² - 2x
1. Tenga como solución un polinomio de primer grado
y= ax+b
2. Sustituyendo
a+(ax+b)2= x2-2x a= -1 b=1
Por lo tanto se tiene una solución particular
yp=-x+1
3. Cambio devariabley=-x+1+z; luego y´=-1+z´
4. Sustituyendo en la E. D. se obtiene tras simplificar z´+2-2xz+z2=0
5. Ecuación de Bernoulli con α = 2 haciendo el cambio z = u-1 de donde u´=-1z2 z´ sustituyendo en -1z2z´+ 2x-2z-1=0 u´+2x-2u=1 es una ecuación lineal con a(x) = 2x –x b(x) = 1
u=e2-2xdz(e2x-2dxdx+c u=e2x-x2(ex2-2xdx+c
6. Deshaciendo los cambios u=1z= 1y+z-1 luego1y+x-1= e2x-x2(e(x2-2x)dx+c
ECUACION DE LAGRANGE
Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria que se puede escribir de la siguiente forma: y=xyy´+f(y´). En este tipo de ecuaciones de emplea el cambio y´= p, para obtener la solución general de la ecuación de Lagrange en forma paramétrica. Por lo tanto la ecuación de ecuación de Lagrange se escribe como y=xgp+f(p). Para resolverla se derivarespecto de x obteniéndose: y´=p=gp+xg´pdpdx+f´(p)dpdx por lo tanto: p-g(p)=dpdx(xg´p+f´p). Y despejando: dpdx=p-g(p)xg´p+f´(p)- Como p=y´y x=y-1(p) son funciones inversas, dividimos la ecuación anterior por dpdx, con lo que tenemos:dxdp=xg´p{f´(p)p-g(p); dxdp-g´pp-gpx= f´(p)p-g(p) que es una ecuación diferencial lineal completa de primer orden en x (variable dependiente)y p (variable independiente).Resolviendo dicha ecuación obtenemos x = h(p,C). Si consideramos p como un parámetro, entonces obtenemos la siguiente expresión para y: y=hp,Cgp+f(p) sustituyendo x por x = h(p,C) en la ecuación dada. Por lo tanto las ecuaciones paramétricas de la solución de la ecuación de Lagrange son: x=h(p,C) y=hp,Cg p+f(p) siendo C la constante de la familia de curvas. Cada una de las curvas integrales seobtiene determinado el valor de C.
Como en la resolución de la ecuación de Lagrange se divide por dpdx , entonces adicionalmente tenemos que considerar el caso en el que p´ sea cero. Es decir, p = K. Los valores de p que seria necesarios considerar serian entonces las raíces reales p – g(p) = 0. Por lo tanto, también son soluciones de la ecuación de Lagrange las rectas: y=xgp1+fp1…….,...