Ecuaciones de lagrange
Páginas: 7 (1675 palabras)
Publicado: 6 de noviembre de 2011
Ecuaciones de LaGrange
Las Ecuaciones de LaGrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-LaGrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.
Parámetros de las ecuaciones
Los parámetrosque intervienen en la formulación de las ecuaciones de LaGrange son los siguientes:
• [pic]- Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.
• [pic]- Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.
• [pic]- Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenadageneralizada.
• [pic]- Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.
• [pic]- Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.
Formulaciones de las ecuaciones
Caso general
La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículases:
|[pic] |(1) |
El subíndice [pic] va desde [pic] hasta[pic], por lo que éstas son [pic] ecuaciones (siendo [pic] el número de grados de libertad del sistema), la resolución de estas [pic] ecuaciones nos darán el estado del sistema en todo instante.
2.2 Casoconservativo
Si en las Ecuaciones de LaGrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:
|[pic] |(2) |
|[pic]|(3) |
Si definimos [pic]como la función lagrangiana (o lagrangiana, simplemente), la cual es útil introducir de ese modo debido a que [pic], es decir, debido a que el potencial depende exclusivamente de las coordenadas generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:
|[pic]|(4) |
Caso continuo
En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad lagrangiana[pic], de modo que la lagrangiana sería
[pic]
La forma de la densidad lagrangiana es:
|[pic] |(5) |
Con [pic]la densidad delobjeto y [pic]la tensión a la que está sometido.
Si denotamos [pic]y [pic]podemos escribir las Ecuaciones de LaGrange como:
|[pic] |(6) |
Teoremas de conservación
Cada simetría en la función lagrangiana de un sistema implica una ley de conservación. Estas simetrías sedeben a las coordenadas cíclicas.
Una coordenada cíclica es aquella que no aparece en la lagrangiana, puede ser una coordenada generalizada o una velocidad generalizada.
Las tres propiedades de simetría más importantes son:
• Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) [pic]conservación de la energía.
• Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslacionesespaciales) [pic]conservación del momento lineal.
• Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) [pic]conservación del momento angular.
“Formula de interpolación de LaGrange”
¿Pueden ajustarse tres o cuatro datos por medio de una curva? Uno de los métodos fundamentales para encontrar una función que pase a través de datos es el de usar un polinomio.
La interpolación polinomial...
Las Ecuaciones de LaGrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-LaGrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.
Parámetros de las ecuaciones
Los parámetrosque intervienen en la formulación de las ecuaciones de LaGrange son los siguientes:
• [pic]- Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.
• [pic]- Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.
• [pic]- Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenadageneralizada.
• [pic]- Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.
• [pic]- Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.
Formulaciones de las ecuaciones
Caso general
La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículases:
|[pic] |(1) |
El subíndice [pic] va desde [pic] hasta[pic], por lo que éstas son [pic] ecuaciones (siendo [pic] el número de grados de libertad del sistema), la resolución de estas [pic] ecuaciones nos darán el estado del sistema en todo instante.
2.2 Casoconservativo
Si en las Ecuaciones de LaGrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:
|[pic] |(2) |
|[pic]|(3) |
Si definimos [pic]como la función lagrangiana (o lagrangiana, simplemente), la cual es útil introducir de ese modo debido a que [pic], es decir, debido a que el potencial depende exclusivamente de las coordenadas generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:
|[pic]|(4) |
Caso continuo
En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad lagrangiana[pic], de modo que la lagrangiana sería
[pic]
La forma de la densidad lagrangiana es:
|[pic] |(5) |
Con [pic]la densidad delobjeto y [pic]la tensión a la que está sometido.
Si denotamos [pic]y [pic]podemos escribir las Ecuaciones de LaGrange como:
|[pic] |(6) |
Teoremas de conservación
Cada simetría en la función lagrangiana de un sistema implica una ley de conservación. Estas simetrías sedeben a las coordenadas cíclicas.
Una coordenada cíclica es aquella que no aparece en la lagrangiana, puede ser una coordenada generalizada o una velocidad generalizada.
Las tres propiedades de simetría más importantes son:
• Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) [pic]conservación de la energía.
• Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslacionesespaciales) [pic]conservación del momento lineal.
• Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) [pic]conservación del momento angular.
“Formula de interpolación de LaGrange”
¿Pueden ajustarse tres o cuatro datos por medio de una curva? Uno de los métodos fundamentales para encontrar una función que pase a través de datos es el de usar un polinomio.
La interpolación polinomial...
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