ecuaciones diferencial

Sistemas de ecuaciones lineales de primer
orden
Forma normal:
dx1
= a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 +  + a1n (t ) xn + f1 (t )
dt
dx2
= a21 (t ) x1 + a22 (t ) x2 +  + a2 n (t ) xn + f 2 (t )
dt

dxn
= an1 (t ) x1 + an2 (t ) x2 +  + ann (t ) xn + f n (t )
n1
n2
dt
Supondremos que los coeficientes aij(t) y las funciones fi(t)
son continuas en un intervalo I. Si todas las f's son cerodiremos que el sistema lineal es homogéneo.

Forma matricial

 a11 (t ) a12 (t )  a1n (t ) 
 x1 (t ) 






 a21 (t ) a22 (t )  a2 n (t ) 
 x2 (t ) 
, A(t ) = 
, F (t ) = 
X=
 

 






 a (t ) a (t )  a (t ) 
 x (t ) 


 n1
 n 
n2
nn

f1 (t ) 

f 2 (t ) 
 

f n (t ) 


 x1 (t )   a11 (t ) a12 (t ) a1n (t )  x1 (t )  
 

 

d  x2 (t )   a21 (t ) a22 (t )  a2 n (t )  x2 (t )  
   + 
  = 

dt
 

 

 x (t )   a (t ) a (t )  a (t )  x (t )  
n2
nn
 n  
 n   n1

X′ = AX + F

El sistema homogéneo
asociado será:

f1 (t ) 

f 2 (t ) 
 

f n (t ) 


X′ = AX

 x
Si X =   ,
 y

dx
= 3x + 4 y
dtdy
= 5x − 7 y
dt

 x
Si X =   ,
 y

dx
= 3x + 4 y
dt
dy
= 5x − 7 y
dt

3 4 
X′ = 
X
5 − 7

 x
Si X =   ,
 y

dx
= 3x + 4 y
dt
dy
= 5x − 7 y
dt

 x
 
Si X =  y  ,
z
 
dx
= 6x + y + z + t
dt
dy
= 8 x + 7 y − z + 10t
dt
dz
= 2 x + 9 y − z + 6t
dt

3 4 
X′ = 
X
5 − 7

 x
Si X =   ,
 y

dx
= 3x + 4 y
dtdy
= 5x − 7 y
dt

 x
 
Si X =  y  ,
z
 
dx
= 6x + y + z + t
dt
dy
= 8 x + 7 y − z + 10t
dt
dz
= 2 x + 9 y − z + 6t
dt

3 4 
X′ = 
X
5 − 7

 6 1 1
 t


 
X′ =  8 7 − 1 X + 10t 
 2 9 − 1
 6t 


 

DEFINICIÓN

Vector solución
Un vector solución en un intervalo I es cualquier
vector columna
 x1 (t ) 


 x2 (t ) X=
 


 x (t ) 
 n 
cuyos elementos son funciones diferenciables que
satisfacen el sistema de EDOs en el intervalo I.

Compruebe que en (−∞, ∞)
3  6t  3e6t 
1 − 2 t  e − 2 t 


X1 =  e =  −2t , X 2 =  e =  6t 
 5e 
− e 
5
− 1






 1 3
son soluciones de: X′ = 
X
 5 3

Compruebe que en (−∞, ∞)
3  6t  3e6t 
1 − 2 t  e − 2t 


X1 =  e =  −2t , X 2 =  e =  6t 
 5e 
− e 
5
− 1






 1 3
son soluciones de: X′ = 
X
 5 3

Solución

 18e6t 
 − 2e − 2 t  ,

 X′2 = 
De X′ = 
1 
 30e6t  tenemos
2e − 2 t 




1
AX1 = 
5
1
AX 2 = 
5

3   e − 2t   e − 2t − 3e − 2t   − 2e − 2t 

 
  − 2t  =  − 2t
1
 − e   5e − 3e −2t  =  2e − 2t  = X′
3 

 
 
3   3e6t   3e6t + 15e6t   18e6t 

 
  6t  =  6t
 5e  15e + 15e6t  =  30e6t  = X′2
3 

 
 

Problemas de valor inicial (PVI)
 x1 (t0 ) 


 x2 (t0 ) 
Sea X(t0 ) =
  ,


 x (t ) 
 n 0 

 γ1 
 
γ 2 
X0 =  

 
γ 
 n

Resolver:

X′ = A(t ) X + F (t )

sujeto a :X(t0) = X0

es un PVI.

TEOREMA

Existencia de una solución única

Sean las componentes de A(t) y F(t) funciones
continuas en un intervalo común I que contiene a t0.
Entonces podemos asegurar que existe una solución
única de nuestro sistema en I.
TEOREMA

Principio de superposición

Sean X1, X2,…, Xk un conjunto de soluciones de
un sistema homogéneo en I, entonces:
X = c1X1 + c2X2+ … + ckXk
es también una solución en I.

cos t
0


 t


Verifique que: X1 =  − 1/2 cos t + 1/2 sin t , X 2 =  e 
0
 − cos t − sin t 
 


1
 1 0


son soluciones de X′ =  1 1 0  X
 − 2 0 − 1


y que entonces:
cos t


0


 t
X = c1X1 + c2 X 2 = c1  − 1/2 cos t + 1/2 sin t  + c2  e 
 − cos t − sin t 
0


 ...