ecuaciones diferenciales de primer orden

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Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Definición 2.2.2 Se dice que la ecuación diferencial

es homogénea si las funciones M y N son homogéneas y del mismo grado.
Note quela ecuación diferencial
será homogénea si / es una función homogénea de grado cero.
Método de Solución. Una ecuación diferencial homogénea Af (#, y)dx + N(x, y)dy = 0,
se resuelve reduciéndola a unaecuación de variables separables, usando cualquiera de las
sustituciones v = y/x o bien v — x/y, donde v es una nueva variable.
Nota: Aunque en teoría cualquiera de las dos sustituciones anterioresreduce una ecuación
homogénea a una separable, en la práctica sugerimos utilizar
• y = xv si N es de estructura "más simple" que M. y
• x = yv si M es de estructura "más simple" que N.
El tomaren cuenta esta observación, conduce a integrales más fáciles de calcular al
resolver la ecuación diferencial separable que se obtiene.
EJEMPLO 1. Resolver
Solución. Como
son funciones homogéneasambas de grado tres, la ecuación dada es homogénea. Además
T es de estructura algebraica más simple que M, por lo cual, la sustitución más conveV
niente es y — xv para reducir (2.17) a una ecuación devariables separables.
Hacemos

Sustituyendo en (2.17) obtenemos

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2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

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Integrando

de donde
Reemplazando v

y simplificandoencontramos que

EJEMPLO 2. Resolver

Solución. Ya que

son funciones homogéneas ambas de grado uno, nuestra ecuación a resolver es homogénea.
Como en el ejemplo anterior T es de estructuraalgebraica mas simple que M. Por lo
V
cual hacemos

Sustituyendo en (2.18) obtenemos

Integrando
reemplazando v

y simplificando, encontramos que

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad...