ecuaciones diferenciales de primer orden

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4. Ecuaciones diferenciales ordinarias

4 Ecuaciones diferenciales ordinarias

En muchas ocasiones, al estudiar un fenómeno físico, no es posible hallar de forma inmediata las leyes físicas
que relacionan las magnitudes que caracterizan dicho fenómeno. Pero en algunos casos sí que es fácil poder
establecer la dependencia entre dichas magnitudes y sus derivadas, es decir, modelar elfenómeno mediante una
ecuación diferencial. Así pues, el estudio de ecuaciones diferenciales es de suma importancia para la ciencia y la
ingeniería.
En el presente capítulo se presentan las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden y se
estudia su resolución. También se comenta de forma más breve la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. Es importante añadirque, además de los métodos de resolución que se presentan en este capítulo, existen
otros métodos, como el de la aplicación de transformadas integrales, que se verá en el capítulo 6, y la aplicación
de métodos numéricos aproximados. Este último método es propio de asignaturas de cálculo numérico, por lo que
no es considerado en este texto.

4.1. Ejemplo introductivo
Se considera un cuerpo demasa m sujeto al extremo de un resorte flexible (muelle) suspendido a un soporte rígido,
tal y como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1. Masa suspendida de un muelle

El muelle no ejerce fuerza cuando el cuerpo se halla en la posición de equilibrio, en la que y = 0 y, entonces,
mg − ks = 0. Si se desplaza una distancia y, el muelle ejerce una fuerza restauradora dada por la ley de Hooke,Fr = −ky, donde k es una constante de proporcionalidad de valor positivo y cuya magnitud depende de la rigidez
del muelle.

© los autores, 2005. © Edicions UPC, 2005

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Cálculo avanzado para Ingeniería

Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene que
m
Llamando λ =

d2 y
= −ky
dt2

⇒

d2 y
k
+ y=0
dt2
m

k/m, se tiene la relación

d2 y
+ λ2 y = 0
(4.1)
dt2
Estarelación se llama ecuación diferencial y relaciona y(t) con sus derivadas (en este caso con su derivada segunda). El objetivo de este capítulo es proponer herramientas para resolver algunos tipos de ecuaciónes diferenciales,
es decir, determinar la función incógnita y(t).
En este ejemplo, se puede comprobar que
y(t) = C1 sen(λt) + C2 cos(λt)

(4.2)

donde C1 y C2 son constantescualesquiera, verifica dicha ecuación diferencial. En efecto,
y ′ (t) = C1 λ cos(λt) − C2 λ sen(λt)
con lo cual
y ′′ (t) = −C1 λ2 sen(λt) − C2 λ2 cos(λt) = −λ2 y(t)
Se puede demostrar que la función 4.2 es la única solución de la ecuación diferencial 4.1.

4.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
4.2.1. Primeras definiciones
Esta sección se inicia con unas primeras definiciones de los conceptosbásicos y con el estudio de las ecuaciones
diferenciales más sencillas, las de primer orden.
Definición 31 (Ecuación diferencial ordinaria). Es una ecuación que debe cumplir una función desconocida y(x)
con su variable independiente x y las derivadas de y(x) hasta un orden determinado:
f (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0

(4.3)

Se denominan ordinarias para distinguirlas de las ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales. Un ejemplo
de ecuación diferencial está dado en la relación 4.1, donde la variable independiente es el tiempo t y la dependiente
es y.
Definición 32 (Orden de una ecuación diferencial). Es el mayor de los órdenes de las derivadas que contiene la
ecuación diferencial. En la ecuación diferencial 4.1 el orden es 2, ya que interviene la derivada segunda.Definición 33 (Solución general ). Es una expresión que contiene todas las funciones y(x) que, sustituidas en
la ecuación diferencial, la satisfacen para cualquier valor de x. Dicha expresión contiene siempre n constantes
arbitrarias (constantes de integración). En el ejemplo anterior, la solución dada en la ecuación 4.2 es una solución
general porque no se ha asignado un valor específico a las...