ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN


1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden.


i) Si la ecuación diferencial de segundo orden no contiene , puede escribirsecomo sigue:


(1)

Considerando que es la variable dependiente, y haciendo


(2)

se recibe:


(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene la siguiente ecuación:(4)

La ecuación (4) es una ecuación de primer orden.


Ejemplo:


(5)

La ecuación (5) no contiene , entonces,

,

Reemplazando estos valores en la ecuación (5) seobtiene:



La solución de esta ecuación es:

( es constante de integración)

Entonces



Integrando con respecto a x se obtiene



Por lo tanto



donde , son constantes arbitrarias.


ii) En caso deque la ecuación diferencial no contenga constante puede escribirse en la forma siguiente:


(6)
En este caso también se hace

(7)
Entonces


(8)

Sustituyendo(7) y (8) en (6) se recibe de la ecuación siguiente:


(9)

La ecuación (9) es una ecuación diferencial de primer orden en donde , es la variable independiente.





Ejemplo:(10)

Sea
, entonces

Reemplazando estos valores en la ecuación (10) se obtiene:



o bien



Si , entonces (11)

y si , o bien

Entonces,


o bien



Entonces



Por esto



endonde , , son constantes arbitrarias.

iii) Una ecuación diferencial de la forma


(13)

puede resolverse por el método anterior ii), pero con el fin de hacer el desarrollo más fácil se hace(14)

Derivando ambos miembros de (14) con respecto a se recibe:



o bien



Entonces la ecuación (13) toma la forma:


(15)

Ejemplo


(16)

Sea , entonces,La ecuación (16) se transforma en la siguiente ecuación:



La solución de esta ecuación es:



pero , entonces,

de donde





iv) En la ecuación


(17)


faltan , y, . Entonces la...