ecuaciones diferenciales exactas

CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
Antes de abordar este tema, sugerimos al lector revise la última sección de este capítulo, la cual trata sobre
algunos conocimientos básicos y necesarios del cálculo de varias variables. Ahí se define la diferencial
exacta o total de una función de dos variables f .x; y/ de la siguiente manera:
dfD

@f
@f
dx C
dy :
@x
@y

Comenzamos entonces con una definición básica.
Una expresión M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta si cumple alguna de las
siguientes condiciones equivalentes:
1. M.x; y/ dx C N.x; y/ dy es la diferencial exacta de una función f .
@f
@f
2. Existe una función f .x; y/ tal que df D
dx C
dy D M.x; y/ dx C N.x; y/ dy.
@x
@y
@f
@f3. Existe una función f .x; y/ tal que
D M.x; y/
&
D N.x; y/.
@x
@y
Si M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta, entonces se puede expresar como
df .x; y/ D 0, para alguna función f .x; y/, por lo que
df .x; y/ D 0 , f .x; y/ D C ;
donde C es una constante arbitraria.
Diremos entonces que f .x; y/ D C , con C 2 R, es la solución general del la ecuación diferencialexacta M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0.
Ejemplo 2.6.1 Mostrar que la ED .3x 2
x 3 xy C y 3 D C .

y/ dx C .3y 2

1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1

x/ dy D 0 es exacta y que tiene por solución general

2
H

Ecuaciones diferenciales ordinarias
En efecto,
f .x; y/ D x 3

xy C y 3 )

@f
D 3x 2
@x

y

&

@f
D x C 3y 2 :
@y

Luego entonces:
df D

@f
@f
dx C
dy D.3x 2
@x
@y

y/ dx C .3y 2

x/ dy :

Por lo que:
.3x 2

y/ dx C .3y 2

x/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta.

Su solución general es f .x; y/ D C . Esto es:
x3

xy C y 3 D C :

Ejemplo 2.6.2 Mostrar que la ED .sen y Cy sen x/ dx C.x cos y cos x/ dy D 0 es exacta y que tiene por solución
general x sen y y cos x D C .
H

En efecto,
f .x; y/ D x sen y

y cos x )

@f@f
D sen y C y sen x &
D x cos y
@x
@y

cos x :

Luego entonces:
df D

@f
@f
dx C
dy D .sen y C y sen x/ dx C .x cos y
@x
@y

cos x/ dy D 0 es una ED exacta :

Su solución general es f .x; y/ D C . Esto es:
x sen y

y cos x D C :

En los dos ejemplos anteriores, sí se conocen la ED y la solución general f .x; y/ D C . La ED conocida es
la ecuación diferencial exacta df.x; y/ D 0. Sin embargo, usualmente no sucede así. Generalmente, sólo
tenemos la ED y buscamos su solución. Por lo tanto:
1. ¿Qué hacer cuando no se conoce la función f .x; y/, solución de la ecuación diferencial?
2. ¿Cómo identificar si una ecuación en su forma diferencial es exacta?
3. Y una vez identificada, ¿cómo calcular o determinar la función f .x; y/, solución de la ecuacióndiferencial?
Las respuestas a estas preguntas se ven a continuación:

Teorema 2.1 Si M.x; y/, N.x; y/,

@M
@N
, &
son funciones continuas en una región rectangular
@y
@x

RD

.x; y/ 2 R2 a < x < b & ˛ < y < ˇ

entonces:
M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es exacta si y sólo si
en cada punto .x; y/ 2 R.

;

@M
@N
D
;
@y
@x

2.6 Ecuaciones diferenciales exactas

3

Lo anterior esequivalente a este otro teorema:
Teorema 2.2 Si M.x; y/, N.x; y/,

@M
@N
, &
son funciones continuas en una región rectangular
@y
@x

RD

.x; y/ 2 R2 a < x < b & c < y < d

;

entonces existe f .x; y/ tal que
@f
D M.x; y/
@x

&

@f
@M
@N
D N.x; y/ si y sólo si
D
@y
@y
@x

en cada punto .x; y/ 2 R.
Vamos a dar un esbozo de la demostración de este teorema.
H
))

Siexiste f .x; y/ tal que
En efecto

@f
D M.x; y/
@x

@f
@M
@N
D N.x; y/, entonces
D
.
@y
@y
@x

&

 Ã
@f
@
@ @f
@
D
D M.x; y/ )
M.x; y/ D
fx D fxy :
@x
@y
@y @x
@y

También

 Ã
@
@ @f
@
@f
D N.x; y/ )
N.x; y/ D
D
fy D fyx :
@y
@x
@x @y
@x

Pero fxy D fyx , por las condiciones de continuidad de la hipótesis del teorema. Por lo tanto:
@M
@N
D
:...