Ecuaciones Diferenciales Homog Neas De Orden Superior Con Coeficientes Constantes
Páginas: 3 (519 palabras)
Publicado: 9 de marzo de 2015
Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
En donde si la ecuación diferencial se denominahomogénea, pero si entonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea.
Principio de Superposición o linealidad
Sean soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, entonces lacombinación lineal de estas es:
También es solución de dicha ecuación diferencial
Dependencia e Independencia lineal
Se dice que las funciones son linealmente independientes si la única solución de laecuación
Donde
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.
Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco JosefHoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones ysus derivadas. Supongamos que las funciones poseen al menos derivadas, entonces el Wronskiano está dado por:
Para el caso de tres funciones
Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuacionesdiferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.
Dado un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de solucioneses linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que
Ejemplo ilustrativo
Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes olinealmente dependientes en el intervalo
Remplazando valores en
Se tiene
Resolviendo el determinante de orden 3 por el método de Sarrrus
Comoentonces, las funciones son linealmenteindependientes
Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:
Y tiene como solución general la función por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:
Estas ecuaciones puede generar...
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
En donde si la ecuación diferencial se denominahomogénea, pero si entonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea.
Principio de Superposición o linealidad
Sean soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, entonces lacombinación lineal de estas es:
También es solución de dicha ecuación diferencial
Dependencia e Independencia lineal
Se dice que las funciones son linealmente independientes si la única solución de laecuación
Donde
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.
Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco JosefHoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones ysus derivadas. Supongamos que las funciones poseen al menos derivadas, entonces el Wronskiano está dado por:
Para el caso de tres funciones
Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuacionesdiferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.
Dado un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de solucioneses linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que
Ejemplo ilustrativo
Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes olinealmente dependientes en el intervalo
Remplazando valores en
Se tiene
Resolviendo el determinante de orden 3 por el método de Sarrrus
Comoentonces, las funciones son linealmenteindependientes
Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:
Y tiene como solución general la función por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:
Estas ecuaciones puede generar...
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