Ecuaciones diferenciales homog neas sistemas dinamicso

 
 
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemploanterior.
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.
 
 
 Definición  [Funciones homogéneas]
 
Una función se dice homogénea de gradosi



para todo y todo .
 
Ejemplo
1. La función es homogéénea de grado .
2. Las funciones , , son homogéneas de grado 0.
3. Las funciones , , son homogéneas de grado 2.
Ahora definimos lo que esuna ecuación diferencial homogénea.
 
 
 Definición [Ecuación diferencial homogénea]
 
 Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función es homogénea de orden cero.Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma




sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos del mismo grado.
 
 
 Teorema
 
Si la ecuacióndiferencial ordinaria de primer orden

es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.
 
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos



Perocomo es una función homogénea de grado cero tenemos que




de donde




la cual es separable, como se quería.
 
Ejemplo
 
Resuelva la ecuación diferencial




La ecuación diferencial eshomogénea pues y son homogéneas de grado dos




Haciendo la sustitución




de donde




Integrando y volviendo a las variables y obtenemos




Note que es una solución singular de la ecuación diferencialdada.
 
Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma




conviene más rescribirla en la forma




y aplicar quí el cambio de variable .
Ejemplo

Resuelva laecuación diferencial




Factorizando




Haciendo la sustitución




Integrando




Y despejando




Observación: al dividir por el factor se pudo haber perdido algunas soluciones, pero no es...