Sistemas masa resorte ecuaciones diferenciales

En la figura 1 se muestra una masa sometida a la aceleración de la gravedad y soportada por un resorte y un amortiguador colocados en paralelo. Si se aísla la masa y se aplican sobre ella losesfuerzos que en el sistema real ejercen el resorte y el amortiguador sobre la masa.

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Figura 1. Sistema masa resorte amortiguador.

Al plantear la segunda ley de Newton se obtiene laecuación que define el comportamiento dinámico del sistema tal y como se muestra en la ecuación 1.

m⋅ y´´ = − F (k) − F(b) + m⋅ g ecuación 1.

Donde
m⋅ g= peso de la masa
F (k)= fuerzaejercida por el resorte
F(b) = fuerza ejercida por el amortiguador

Ahora es posible obtener la ecuación dinámica del sistema simplemente hallando la fuerza del resorte y la fuerza del amortiguadorobteniendo la ecuación 2 estaesuna ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

m⋅ y´´ + d ⋅ y´+ k ⋅ y = m⋅ g ecuación 2.

Para resolver esta ecuación diferencial es necesario utilizar unmétodo específico para la integración de ecuaciones diferenciales. El que se utilizara en este caso es el método de Euler, que en síntesis consiste en considerar que, supuesta conocida la velocidad enun instante t, el valor de la velocidad un intervalo de tiempo después es igual a la velocidad anterior más el incremento de velocidad experimentado en el tiempo transcurrido como se muestra en laecuación 3. Dicho incremento de velocidad puede considerarse igual al producto de la aceleración obtenida para el instante anterior, que se considera constante en todo el intervalo, por el tiempotranscurrido.

Una vez conocida la velocidad, puede considerarse que el desplazamiento es igual al desplazamiento anterior más el incremento del desplazamiento, que puede expresarse como el producto de lavelocidad por el intervalo de tiempo como se muestra en la ecuación 4. Como antes, se considera que la velocidad permanece constante en todo el intervalo, tomándose para ella el valor que se acaba...