ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES:

Definición 1: Una ecuación diferencial de primer orden es lineal si puede escribirse en la forma
y’ + a(x) y = b(x)
siendo a(x) y b(x) funciones continuas en algún intervalo I.

Ejemplo 1: Las siguientes ecuaciones son lineales:
a) y’ + 2xy = ex
b) x2 y’ – (senx)y = x
c) y’ =
Solución: En (a) a(x) = 2x y b(x) = ex; en (b) a(x) =-(senx)/x2, con x0 ; b(x) = 1/x, en (c) a(t) = -t2/(t + 1), b(t) = -t.

Obs: La palabra lineal se refiere a que la variable dependiente junto con su derivada aparecen con exponente uno y no son argumento de ninguna otra función. Así por ejemplo y’ = (seny)y + t, yy’ +x2 = 2; no son lineales.

Solución de una ecuación diferencial lineal: Para resolver una ecuación diferencial lineal sedesarrollaran dos métodos.

Método 1: Factor Integrante: Este método consiste en determina una función de tal manera que el lado izquierdo de la ecuación diferencial lineal: y’ + a(x) y = b(x), sea la derivada del producto de esa función por la variable dependiente y, sea (x) >0, una función de la variable x. Al multiplicar la ecuación anterior por (x) se obtiene: (x) y’ + (x)a(x) y = (x) b(x), luegopara que el lado izquierdo de esta última ecuación sea la derivada de (x)y(x) debe cumplirse que: a(x) (x) = ’(x)(esta representa una ecuación diferencial con variables separables  (x) = exp(a(x)dx), esta función (x) se denomina Factor De Integración. (Cuando se calcula (x), se obtiene una constante de integración en el exponente, entonces, como se necesita un factor de integración pararesolver la ED, se escoge la constante de la manera más conveniente, c = 0.)

Luego: (x)y =  (x)b(x) dx  y = -1 (x)  (x)b(x) dx + c  = + c.

Obs: La ecuación anterior no debe ser utilizada de manera directa es mejor seguir los siguientes pasos:
(i) Escribir la ecuación diferencial de la forma: y’ + a(x) y = b(x)
(ii) Calcular el factor de integración: (x) =exp(a(x)dx)
(iii) Multiplicar la ecuación dada por el factor, para obtener: ((x) y)’ = (x)b(x).
(iv) Integrar a ambos lados de la ecuación anterior y despejar “y”. (obtener la particular si es el caso).

Ejemplo 14: Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
a) y’ – 2xy = 2x b) x2 y’ + x(x + 2)y = ex
Solución: (a) y’ – 2xy = 2x
paso (ii) Cálculo delfactor integrante (x) exp( -2xdx) =
Paso (iii) y’ –2xy = 2x  D(y) = 2x  y = x2 + c  y = (x2 + c) .

(b) x2 y’ + x(x + 2)y = ex.
Paso (i) hacer uno el coeficiente de y’: y’ + (x + 2)/x y = x-2ex.  y’ + (1+2/x)y = x-2ex,
(ii) : (x) = e ( (1 + 2/x)dx) = e(x + 2lnx) = x2 ex
(iii) x2exy’ + x(x+2)exy = e2x  D(x2 ex y) = e2x 
(iv) x2 ex y = e2x/2 + a  y = .



Método 2.Variación de parámetro o de la constante:
Sea y’ + a(x) y = b(x) (2)
(i) Si la función b(x) = 0, entonces la ecuación (2) se transforma en una ecuación con variables separables, la cual ya se estudió en el caso (A). En este caso la ecuación (2) se llama ecuación lineal homogénea. Observe que en este caso el sentido de homogeneidad es diferente al ya visto.
(ii)Estudiemos ahora la ED cuandob(x)  0, de esta manera la ecuación (2) se denomina ecuación lineal no homogénea.
Obs: Si yp es una solución particular de la ecuación (2) y yh es la solución de la ecuación homogénea asociada a (2) entonces y = yp + yh también es solución de (2). En efecto: (i) Si yp es una solución particular de (2) entonces: y+ a(x)yp = b(x); (ii) Si yh es la solución de la homogénea asociada a (2)entonces: yh’ + a(x) yh = 0 , luego sumando miembro a miembro estas dos ecuaciones y agrupando se tiene:
yp’ + yh’ + a(x) (yp + yh) = b(x)  (yp + yh)’ + a(x) (yp + yh) = b(x)  y’ + a(x) y = b(x)  y = yp + yh es solución de la ecuación (2).

Este método consiste en resolver primero la ecuación homogénea asociada a la ecuación diferencial dada: y’ + a(x) y = 0, sea yh = g(x ,c) tal...