Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1

16 de Diciembre de 2014

Series de Laurent
Israel Asimbaya
Lenin Cordova
Cristhian Luje
3*
Abstract
´
La serie de Laurent es muy importante en el analisis
complejo, especialmente para investigar el comportamiento
´
de funciones cerca de singularidades, pues permite saber que´ tipos de singularidades tiene una funcion.
Keywords
Contorno - Laurent- Series - Interales de Contorno.
1Departamento de Ciencias Exactas, Escuela Politecnica
´
´
del Ejercito,
Sangolqui, Ecuador
* cristhian-is@hotmail.com

´
1. Introduccon
En matem´aticas, la serie de Laurent de una funci´on compleja f(z) es la representaci´on de la misma funci´on en la forma de
una serie de potencias, la cual tambi´en incluye t´erminos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funcionescomplejas en casos donde una expansi´on de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar.

2. Ejercicios
Ejercicio 2.1
Sean a, b ∈ C tales que 0 < |a| < |b|. Obt´engase el desarrollo en serie de Laurent para la funci´on:
f (z) =

1
, ∀z ∈ C a, b
(z − a)(z − b)

en cada uno de los siguientes anillos:
a A(0; |a|, |b|)
b A(a; |b|, +∞)
c A(a; |b − a|, +∞)
Soluci´on
a) A(0;|a|, |b|)
z0 = 0
|a| < |z| < |b|
f (z) =

1
1
1
=
−
(z − a)(z − b) (a − b)(z − a) (a − b)(z − b)
1
1
1 1 ∞ z
a
=
∑ a
a − b 1 − az
a − b a n=0

n

Series de Laurent — 2/11

1
1
1 1 ∞ z
b
∑ b
z =
a−b 1− b
a − b b n=0

f (z) = −

1 1 ∞ z
∑ a
a − b a n=0

n

+

n

1 1 ∞ z
∑ b
a − b b n=0

n

b) A(0; |b|, | + ∞|)
z0 = 0
|b| < |z| < | + ∞|
f (z) =

11
1
=
−
(z − a)(z − b) (a − b)(z − a) (a − b)(z − b)
1
b

1−

f (z) =

z
b

=

1 ∞ z
∑ b
b n=0

n

1
∞
1
z
+ b ∑
(a − b)(z − a) a − b n=0 b

n

c) A(a; 0, |b − a|)
z0 = a
0 < |z − a| < |b − a|
f (z) =

1
1
=
1
(z − a)(z − b) (a − b)(z − a) − (a−b)(z−b)
1

1 ∞ z−a
−1
−1
1
=
=
= a−bz−a =
∑ a−b
z − b b − z + a − a (b − a) − (a − z) 1 − a−b
a − bn=0

f (z) =

∞
1
1
z−a
−
∑
2
(a − b)(z − a) (a − b) n=0 a − b

n

d) A(a; |b − a|, +∞)
z0 = a
|b − a| < |z − a| < ∞
f (z) =

1
1
1
=
−
(z − a)(z − b) (a − b)(z − a) (a − b)(z − b)

1
1
1
−1 ∞ z − a
=
∑ a−b
b − z b − z + a − a (b − a) − (z − a) a − b n=0

f (z) =

∞
z−a
1
1
−
∑
(a − b)(z − a) (a − b)2 n=0 a − b

n

n

n

Series de Laurent — 3/11Ejercicio 2.2
Clasifica a las singularidades y determina las partes singulares, para cada una de las siguientes funciones. Estudia tambi´en
cuando ello tenga sentido, la eventual singularidad en ∞.
Soluci´on
a f (z) =

1−cos(z)
,
zn

∈ C/ {0} n ∈ N
z0 = 0

1 cos(z)
− n
zn
z

b f (z) = zn sin

1
z

log(1+z)
,
z2

Singularidadevitableenelorigen

zn

Parteregular1
z

Partesingular

∀z ∈ C/ {0, 1}
z0 ∈ (−∞, 0],

Ninguladesussingularidadesesaislada

z

Parteregular

1
z2

d f (z) =

Partesingular

, ∀z ∈ C/ {0}
z0 = 0

c f (z) =

Polodeordenn

1
,
z(1−e2iπz )

Partesingular

∀z ∈ C
z0 = 0

Singularidadevitableenelorigen

e2iπz

Parteregular

Series de Laurent — 4/11

1
z

Partesingular

e f (z) = ztan(z),∀z ∈ C/ {( 2k + 1) π2 ; k ∈ Z}
π
z0 = (2k + 1) ,
2

k∈Z

Sussingularidadesnosonaisladas

ztan(z)

Parteregular

Ejercicio 2.3
Clasifica las singularidades, y determina las partes singulares, para cada una de las siguientes funciones. Estudia tambi¨n,
cuando ello tenga sentido, la eventual singularidad en ∞:
Soluci´on
a. f (z) =

1−cos z
zn ,

z0 = 0

∀z

∈

C/{0}

Polode

orden

1 cos z
− n
zn
z

Parte

b. f (z) = zn sin 1z ,
z0 = 0

∀z

∈

n∈N
n

singular
C/{0}

Singularidad

evitable
zn
1
z

c. f (z) =

log(1+z)
,
z2

z0 ∈ (−∞, 0]

∀z

∈

en

el

Parte
Parte

origen
regular
singular

C/{0, 1}

Ninguna

de

sus

singularidades
z
1
z2

d. f (z) =

1
,
z(1−ei2πz )

z0 = 0

∀z

∈...