Formulario ecuaciones diferenciales ordinarias

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FORMULARIO
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
1- yn=ynydxn
Ejemplo: d2xdy2+2xy=0 E.D.O 2 orden 1 grado
23y2x3+2x(2y2x)2=0 E.D.P 3orden 1 grado

El orden es el valor de la máxima derivada
El grado es el exponente de la máxima derivadaForma general de una ecuación diferencial ordinaria
2- anxdnydxn+an-1xdn-1ydxn-1+an-2xdn-2dyn-2+...+a1xdydx+a0xy=fx
Si fx=0 se le llama homogénea
Ecuaciones diferencial homogénea de primer orden
3- a1xdydx+a0xy=0
Método de separación de variables
Sirve para ecuaciones de la forma:
f1xg1ydydx+f2xg2y=0
Factor integrante
1f1xg2(y)

f1xg1ydydx=-f2xg2x
f1xg1ydy=-f2xg2ydxg1(y)g2(y)dy=-f2(x)f1(x)dx

FACTORES INTEGRANTES
Consideremos la ecuación diferencial Mx,ydx+Nx,ydy=0
1. Si
1N(x,y)Myx,y-Nxx,y=h(x)
Es una función de x solo, entonces eMxdx es un factor integrante
2. Si
1M(x,y)Nxx,y-Myx,y=k(y)

Ecuaciones diferenciales exactas
Sea una ecuación diferencial de la forma
4- Mx,ydx+Nx,ydy=0
Donde M y N son funciones que depende x y ydFx,y=∂F(x,y)∂xdx+∂F(x,y)∂ydy
Donde Fx,y=constante(c)
Por lo tanto
∂F(x,y)∂xdx+∂F(x,y)∂y=0 Nos indica que Mx,y=∂F(x,y)∂x y Nx,y=∂F(x,y)∂y

Para la función f(x,y) debe cumplir con ∂2F(x,y)∂x∂y=∂2F(x,y)∂y∂x
Paso 1:
Si es exacta se debe cumplir ∂M(x,y)∂y=∂N(x,y)∂x
Paso 2:
Podemos decir Fx,y=Mx,ydx+c (y) o
Fx,y=Nx,ydx+c x

Paso 3:Derivamos parcialmente ∂Fx,y∂y=∂∂yMx,ydx+c '̍y ∂F(x,y)∂y=N(x,y)
Paso 4: comparar y obtener c 'y o '(x)
Paso 5: integrar cx o c(y)
Paso 6: sustituir
Ejemplo:
2x3+3ydx+3x+y-1dy=0
∂M∂y=3 ∂N∂x=3 Es exacta
Integrando
F=Mdx=2x3+3ydx
c=x42+3yx+cy
∂F∂y=3x+c'y =N
Comparamos c'y=y-1
Integramos c'ydy=y22-y+c
c=x42+3yx+y22-yReducir ecuaciones exactas
Suponemos una función
Mx,ydx+Nx,ydy=0
Que no es exacta suponemos que existe una función f(x) que multiplique a la ecuación anterior y la haga exacta, por lo tanto
fxMx,ydx+fxNx,ydy=0
ddy[fxMx,y]=ddx[f(x)N(x,y)]
fxMyx,y=f´xNx,y+fxNxx,y

Separando las f
Cuando depende de x
5- Fx=f´(x)f(x)=Myx,y-Nx(x,y)N(x,y)
Cuando depende de y
6-gy=Nxx,y-My(x,y)M(x,y)
Ejemplo
(x2+y2+x)dx+xydy=0
∂M∂y=2y ∂N∂x=y
Probamos la condición 2y-yxy=1x
Se cumple, sacamos el factor a integrar
fx=e1xdx =x
Multiplicamos por f(x)
(x3+y2x+x2)dx+x2ydy=0
∂M∂y=2yx ∂M∂x=2xy Ecuacion exacta
F=Ndy=x2ydy =x2y22+c(x)
comparando
c'x=x3+x2

Integrando
cx=x44+x33
Por lo tantox2y22+x44+x33=c
Otra condición para saber si se cumple
gy=Nxx,y-My(x,y)M(x,y) Fy=e-gydy
ECUACIONES LINEALES
Sirve para ecuaciones de la forma
dydx+Pxy=Qx
Donde P(x) sean funciones lineales
7- y=e-PxdxePxdxQxdx

Ejemplo
dydx-3y=6 P(x)=-3Qx=6
y=e--3dxe-3dx6dx
=6e3xe-3xdx =6e3x-13e-3x+c y=-2+ce3x

ECUACIONES HOMOGENEAS
Para ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma

Mx,ydx+Nx,ydy=0
Donde M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas
Una función es homogénea si cumple la condición
8- fλx=λnf(x,y)
Donde n es el grado de homogeneidad.
fx=xy+2x2
fλx,λy=λxλy+2(λx2)
=λ2xy+2λ2x2 =λ2xy+2x2=λ2 f(x,y)
Ecuación homogénea de grado 2

ECUACION DE BERNOULLI
dydx+Pxy=ynQ(x)
y1-ne1-nPxdx=1-nQxe1-nPxdxdx+c
9- y1-n=1-ne-1-nPxdxe1-nPxdxQxdx

Ejemplo
xdydx+y=x2y2
Reacomodo
dydx+1xy=xy2 Px=1x Qx=x

n=2
e-(1.2)dxx=x e(1-2)dxx=e-ln⁡(x)=eln⁡(x-1)=1x y-1=-x1xxdx
y-1=-xx+c y-1=-x2+xc y-1=-x2-xc =1-x2-xc

TEOREMA DE UNICIDAD
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