Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
José Darío Sánchez Hernández
Bogotá -Colombia. Octubre del 2005

danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre lamanera de volver a redactar algunos, por favor hágalo, de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, en esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual sesupone es correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deberá revisarlas analizando cual de los resultados básicos se ha utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BASICOS 1.Sea H un subconjunto del espacio d ‚ I , donde d es el conjunto de los

2.Sea 0 À H I una función continua y sea M un intervalo (es decir, un conjunto conexo de d ). Una función diferenciable :À M I se llama solución de una ecuación .B " .> œ 0 >ß D en el intervalo M , si 3 El gráfico de : en Mà Ö >ß : > à > − M× está contenido en H, y 33 .: > œ 0 >ß : > , para todo > − M . .> 3.La ecuación 4.Sea
" se llama ecuación diferencial ordinaria de primer orden y es denotada por Bw œ 0 >ß B # H œ M ‚ dß y, 0 >ß B œ 1 > donde 1 es una función continua en el > intervalo M es una solución de Bwœ 1 > en M si y sólo si : > œ -  '>! 1 = .= siendo >! un punto en M y - es una constante. por

números reales y I es un espacio euclidiano 8-dimensional. Un punto de d ‚ I se denotará por >ß B ß > − d y B œ B" ß B# ß á ß B8 − I ; salvo mención en contra, se adoptará la normal | >ß B | œ maxÖl>lß lBl× donde lBl denota una norma en I .

5.Sea H œ d# , 0

>ß B œ $B#Î$ . Para todo - − d , lafunción :- À d

d definida

Darío Sánchez H.

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6.Nótese que una ecuación diferencial posee en general una infinidad de
soluciones. y `0 son continuas `B en H, se prueba que para cada >! ß B! − H existe una única solución : de " en un intervalo que contiene a >! y tal que : >! œ B! . Una tal solución : se llamará solución del problema de valoresiniciales >! ß B! para la ecuación " . Este problema es también conocido como problema de Cauchy y será denotado Bw œ 0 >ß B ß B >! œ B! # ì La ecuación # es equivalente a la ecuación integral siguiente > B > œ B!  '>! 0 =ß B = .= $ Esto es, una función continua : À M Iß cuyo gráfico está contenido en H y >! − M , es solución de $ si y sólo si : es solución de # .

>  - $ß >  es una solución de Bwœ $B#Î$ en M œ d ! ß >Ÿì La función constante : œ ! también es solución de esta ecuación.

:- > œ œ

7.Bajo hipótesis generales sobre 0 , por ejemplo, si 0

8.La ecuación
geométrica

" o la ecuación # permiten la siguiente interpretación

I se llama lipschitziana en H relativamente a la segunda variable, o simplemente lipschitziana, si existe una constante 5 tal que l0 >ß B  0 >ß C lŸ 5lB  Cl para todos >ß B ß >ß C − HÞ A 5 se le llama constante de Lipschitz de 0 . ì Si 0 >ß B es una función que admite derivada parcial en relación a la segunda variable, H# 0 , con lH# 0 l Ÿ 5 en H, y H> œ ÖBà >ß B − H× es un

La función 0 define en H un campo de direcciones. Esto es, asocia a cada punto >ß B una recta 6 >ßB À 0B œ 0 >ß B † 7  > de pendiente 0 >ß B ß que pasa por >ß B Þ ìLa ecuación " o # permite considerar el problema de hallar (si existen) las curvas, pasando por >! ß B! , cuyas rectas tangentes en cada punto coinciden con las dadas por un campo de direcciones.

9.Una función 0 À H ‚ d ‚ I

Darío Sánchez H.

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conjunto conexo, para todo >, entonces 0 es lipschitziana en H y 5 es su constante de Lipschitz. En...