Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1 Una ecuación diferencial de segundo orden.
En este problema se os pide resolver numéricamente dos ecuaciones diferenciales que representan el movimiento de un péndulo de masa m sujeto por una varilla rígida de longitud l, con y sin rozamiento. En principio nada impide que el péndulo dé varias vueltas sobre su eje. Modelizamos el estado del sistema con una única variable: el ángulo x que formala varilla con la dirección vertical. Para caracterizar el sistema durante un intervalo de tiempo, necesitamos calcular el valor de este ángulo en cada instante x(t). Usando la segunda ley de Newton y la ley de gravedad obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden para el péndulo simple:

d2x dt 2

g sin x l

1) Plantea la ecuación como un sistema de primer orden introduciendo lavariable velocidad v. Resuelve el sistema de forma aproximada usando el método de matlab ode45 en el intervalo [0,10], para x(0)=0, v(0)=1 tomando g=10 y l=1 (para simplificar trabajaremos sin unidades).

Introducimos la variable velocidad:

v dx dt dv dt

dx dt v g l sin x

Ahora es fácil escribir un sistema de dos ecuaciones diferenciales en las variables x y v:

Se trata de un sistema dedos ecuaciones no lineal que podemos intentar resolver con cualquiera de los métodos numéricos para ODES. Para usar el método ode45 tenemos que crear un archivo, que llamaremos pendulo.m, que devuelve las derivadas respecto al tiempo de las variables del sistema x y v, puestas juntas en un vector: def d = pendulo(t,p) l=1; g=10; %El vector p guarda las variables x=p(1) y v=p(2) %En el vector vponemos las derivadas dx/dt=d(1) y dv/dt=d(2) d=[p(2); -(g/l)*sin(p(1))];

A continuación invocamos el método ode45 con los parámetros correspondientes a los datos iniciales y el intervalo de tiempo que queremos estudiar: t_0=0; t_f=10; p0=[0;1]; [t,p]=ode45('pendulo',[t_0,t_f],p0); figure; plot(t,p(:,1)) %dibuja la posición figure; plot(t,p(:,2)) %dibuja la velocidad

La primera gráficarepresenta la posición del péndulo en función del tiempo, oscilando entre -0.3 y 0.3. La segunda representa la velocidad del péndulo en función del tiempo, oscilando entre -1 y 1. Al no haber rozamiento, el movimiento no se detiene. Aunque el movimiento es periódico, estas curvas no son sinusoides. Cuando la posición es pequeña, podemos aproximar sin(x) por su polinomio de Taylor de orden 1, que esexactamante P(x)=x. Al hacer esta aproximación, obtenemos una ecuación lineal:

d2x dt 2

g x l

cuyas soluciones son exactamente sinusoides. Sin embargo, esto es sólo una aproximación, y para valores mayores de la velocidad, obtenemos curvas menos parecidas a curvas sinusoidales.

Este sistema de ecuaciones es autónomo, lo que quiere decir que la ecuación no depende explícitamente del tiempo.Por tanto, la trayectoria de un punto depende sólo de la posición y la velocidad inicial, pero no del instante de tiempo inicial. En estos casos es habitual representar las trayectorias en un diagrama que sólo contiene las variables del problema (posición y velocidad) pero no el tiempo (como hicimos en el caso del atractor de Lorentz en el capítulo 2 de las prácticas). Ignorando el hecho de que xes una variable periódica, podemos hacer la representación en el plano x, y. Como verás, tiene sentido permitir que x tome valores arbitrarios, entendiendo que dos puntos cuya coordenada x difiere en más de 2 representan la misma posición del péndulo. Cada vez que el péndulo gira sobre sí mismo pasamos de un intervalo [k·2 ,(k+1)·2 ] al intervalo siguiente [(k+1)·2 ,(k+2)·2 ]. 2) Dibuja lastrayectorias del punto con condición inicial x(0)=0, v(0)=2 y del punto con condición inicial x(0)=0, v(0)=7. Interpreta el resultado.

Cambiamos las condiciones iniciales a los nuevos valores, y dibujamos los pares de puntos (x,v), que están guardados como la primera y segunda columnas del vector p. t_0=0;

t_f=10; %Primera grafica: x(0)=0, v(0)=2 p0=[0;2]; [t,p]=ode45('pendulo',[t_0,t_f],p0);...