Ecuaciones Diferenciales Para La Transferencia De Masa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana.
Núcleo Zulia

Este sistema se utilizara para desarrollar las ecuaciones diferenciales para la transferencia de masa. Si se hace un balance de masa en un volumen de control diferencial, se establecerá la ecuación de continuidad para una especie determinada.

1.- La Ecuación Deferencial Para La Transferencia DeMasa:
Considérese el volumen de control, Δx Δy Δz, a través del cual fluye una mezcla que incluye el componente A, como se muestra en esta figura



La expresión de volumen de control para la conservación de la masa es:



Y en palabras puede expresarse como:


La relación general para un balance de masa de la especie A para el volumen de control puede expresarse como:


Larapidez neta de la emisión de masa del volumen de control puede evaluarse si se considera la masa que se transfiere a través de la superficies de control. Por ejemplo, la masa A que se transfiere a través del área Δy Δz en x será ρAvA Δy Δz│x, o en términos del vector de flujo na= ρAvA, seria nA,x Δy Δz│x. La rapidez neta de emisión de masa del constituyente A será

En la dirección x:
nA,x Δy Δz│x+Δx - nA,x Δy Δz│x

En la dirección y:
nA,y Δy Δz│y+ Δy - nA,y Δy Δz│y

En la dirección z:
nA,z Δy Δz│z+ Δz - nA,z Δy Δz│z

La rapidez de acumulación de A en el volumen de control es:



Si dentro del volumen de control se produce A, con una rapidez rA por alguna reacción química, donde rA tiene las unidades (masa de A producida)/(volumen)(tiempo), la rapidez de producción de A esSe toman todos los términos obtenido anteriormente y se sustituyen la primera ecuación nos da como resultado esto:

y se divide luego entre el volumen de control Δx Δy Δz cancelando asi los términos, para después evaluar en el limite a medida q Δx Δy Δz se aproxima a 0 se llega a la ecuación de continuidad para el componente A:



En la misma forma puede desarrollarse una ecuaciónsimilar de continuidad para el segundo componente B:


Donde rB es la rapidez con la q se producirá B. si se suman las dos ecuaciones de volumen de control obtenidas se tiene:



Para una mezcla binaria de A y B, se tiene
nA + nB = ρAvA + ρBvB = ρv
ρA +ρB = ρ
rA=-rB
Por la ley de conservación de la masa. Si se si se sustituyen estas relaciones en la ecuación anterior se obtiene laecuación de continuidad para la mezcla:



2.- Formas Especiales De La Ecuación Diferencial De Transferencia De Masa
Cualquiera de las ecuaciones
-∇ .ρD_AB 〖∇ω〗_A+ ∇ . ρ_A v+ (∂ρ_A)/∂t-R_A=0 o -∇ .cD_AB 〖∇y〗_A+ ∇ . c_A v+ (∂c_A)/∂t-R_A=0 puede utilizarse para describir los perfiles de concentración dentro de un sistema que se difunde.

Esta ecuaciones pueden simplificarse haciendosuposiciones restrictivas. Las formas importantes de la ecuación de continuidad, con las suposiciones que las restringen, incluyen:
Si la densidad (ρ) y el coeficiente de difusión (DAB), pueden suponerse constantes, la ecuación -∇ .ρD_AB 〖∇ω〗_A+ ∇ . ρ_A v+ (∂ρ_A)/∂t-R_A=0 se convierte en -D_AB ∇^2 ρ_A+ρ_A ∇.v+v.〖∇ρ〗_A + (∂ρ_A)/∂t-r_A=0 donde ρ_A ∇.v se hace 0 y al dividir cada término de laecuación restante entre el peso molecular de A y reordenar, se obtiene
v.〖∇c〗_A+(∂c_A)/∂t=D_AB ∇_(c_A)^2+R_A

Si no hay termino de producción, RA=0 y si la densidad y el coeficiente de difusión se suponen constantes la ecuación anterior se reduce a
(∂c_A)/∂t+v.〖∇c〗_A=D_AB ∇_(c_A)^2
Se sabe que (∂c_A/∂t)+v.∇c_A es la derivada verdadera de cA; al volver a escribir el miembro de la izquierda de laecuación se obtiene
(Dc_A)/Dt=D_AB ∇_(c_A)^2

En una situación en que no hay movimiento del fluido, v=0, no hay término de producción de RA=0 y no hay variación en la difusividad o densidad, la ecuación (∂c_A)/∂t+v.〖∇c〗_A=D_AB ∇_(c_A)^2 se reduce a
(∂c_A)/∂t=D_AB ∇_(c_A)^2

La cual se conoce como la segunda “ley” de Fick de la difusión.

Las ecuaciones generales que se tenían...