ecuaciones diferenciales parciales

Ejercicios EDP

y (x) + (1 + λ)y(x)
y(0) = y(π)

. a) Resuelva el problema de Sturm-Liouville

Problema 1

=
=

0
0

b) Use el método de separación de variables y la parte a) para resolver la ecuación
uxx (x, t) + u(x, t) = ut (x, t),

0 < x < π,

t>0

u(0, t) = u(π, t) = 0
u(x, 0) = sen(3x) + 4 sen(5x) + 2 sen(7x)

.

Desarrollo

a) La ecuación característica es k =± −(1 + λ). Sea a =
Si 1 + λ < 0, entonces y(x) = c1 e−ax + c2 eax

−(1 + λ)

y(0) = c1 + c2 = 0 =⇒ c2 = −c1
y(π) = c1 e−aπ − c1 eaπ = 0 =⇒ c1 = 0 =⇒ c2 = 0

Si 1 + λ = 0, entonces y(x) = c1 x + c2
y(0) = c2 = 0 y y(π) = c1 π = 0 =⇒ c1 = 0
√
√
Si 1 + λ > 0, entonces y(x) = c1 cos( 1 + λx) + c2 sen( 1 + λx)
y(0) = c1 = 0

√
y(π) = c2 sen( 1 + λπ) = 0 =⇒ λ = n2 − 1 y

y(x) = sen(nx)b) Consideremos u(x, t) = M (x)N (t), reemplazando obtenemos
M (x) + (1 + λ)M (x)
M (0) = M (π)

=
=

0
0

y N (t) + λN (t) = 0

De la parte a) los autovalores son λn = n2 − 1 y las autofunciones Mn (x) = sen(nx). Las
soluciones de la ecuación
N (t) + (n2 − 1)N (t) = 0 son Nn (t) = an e(1−n

2

)t

Por lo tanto, la solución general es
∞
2

an e(1−n

u(x, t) =

)tsen(nx)

n=1

De la condición inicial, se tiene
∞

u(x, 0) =

an sen(nx) = sen(3x) + 4 sen(5x) + 2 sen(7x) =⇒ a3 = 1,
n=1

Luego la solución es
u(x, t) = e−8t sen(3x) + 4e−24t sen(5x) + 2e−48t sen(7x)

a5 = 4,

a7 = 2

. Considere la e.d.p

Problema 2

ut (x, t) = uxx (x, t)
ux (0, t) = 0,

ux (1, t) = 2

u(x, 0) = x2 + 1

Pruebe que el cambio de variable u(x, t) =ax2 + bt + w(x, t) transforma está ecuación en
wt (x, t) = wxx (x, t)
wx (0, t) = wx (1, t) = 0
w(x, 0) = 1

Usando separación de variables, encuentre las soluciones w(x, t) y u(x, t).
. Derivando el cambio de variable, obtenemos

Desarrollo

ut = b + wt ,

ux = 2ax + wx ,

uxx = 2a + wxx

Reemplazando en la e.d.p. se tiene
b + wt = 2a + wxx =⇒ b = 2a

Como
ux (0, t) = 0 =⇒ wx(0, t) = 0

y

ux (1, t) = 2 = 2a + wx (1, t) =⇒ si a = 1 =⇒ wx (1, t) = 0

Concluimos que el cambio de variables es u(x, t) = x2 + 2t + w(x, t) transforma nuestra e.d.p en
wt = wxx
wx (0, t) = wx (1, t) = 0,

w(x, 0) = 1

Usando separación de variables con w(x, t) = M (x)N (t) obtenemos
M (x) + λM (x)
M (0) = M (1)

= 0
= 0

N (t) + λN (t) = 0

Los autovalores son λn = n2 π 2y las autofunciones Mn (x) = cos(nπx), n ≥ 0
Así, la ecuación para N (t) queda
Nn (t) + n2 π 2 Nn (t) = 0 =⇒ Nn (t) = an e−n

2

π2 t

Por lo tanto, la solución formal es
∞

an e−n

w(x, t) =

2

π2

cos(nπx)

n=0

De la condición inicial, obtenemos
∞

1 = w(x, 0) =

1

an cos(nπx) =⇒ an = 2
n=0

Luego, w(x, t) = 2 y u(x, t) = x2 + 2t + 2

cos(nπx)dx =
0

2,si n = 0
0, si n = 0

. Resuelva la e.d.p

Problema 3

utt = x2 uxx + 3xux + u,

1 < x < ee ,

t>0

u(1, t) = u(ee , t) = 0
u(x, 0) =

1
,
x2

ut (x, 0) = 0

. Usando separación de variables, hacemos u(x, t) = M (x)N (t) y derivando se tiene

Desarrollo

utt = M N ,

ux = M N,

uxx = M (x)N

reemplazando en la e.d.p. obtenemos
x2 M (r) + 3xM (r) + (1 + λ)M (r) = 0M (1) = M (ee )
= 0

∧

N (t) + λN (t) = 0

n2 π 2

Los autovalores λn = 2 y autofunciones Mn (x) = x−1 sen( nπ ln(x)), n ≥ 1 y las solución para
e
e
N (t) es
Nn (t) = an cos

nπ
nπ
t + bn sen
t
e
e

Por lo tanto, la solución es
∞

u(x, t) =

an cos
n=1

nπ
nπ
t + bn sen
t
e
e

x−1 sen

nπ
ln(x)
e

Ahora,
∞

∞

nπ
1
1
nπ
= u(x, 0) =
an x−1 senln(x) =⇒ =
an sen
ln(x)
x2
e
x n=1
e
n=1
=⇒ an =

2
ee − 1

ee
0

1
nπ
2e
sen
ln(x) dx = e
(1 − (−1)n )
x
e
(e − 1)nπ

y como ut (x, 0) = 0 =⇒ bn = 0, ∀ n
Luego, la solución es
u(x, t) =

2e
(ee − 1)π

∞

1
nπ
nπ
(1 − (−1)n ) cos
t x−1 sen
ln(x)
n
e
e
n=1

. Resuelva la edp

Problema 4

utt = uxx + 1,

00

π
π
ux ( , t) = −
2
2
1...