Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES PROBLEMAS RESUELTOS
´ ANGELICA MANSILLA - ELENA OLIVOS 19 de marzo de 2011

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Cap´tulo 1 ı

Ecuaciones de primer orden
Definicion 1.1 ´ ´ ´ Una ecuacion diferencial es cualquier relacion en la que interviene una o m´ s variables dependientes y alguna(s) de sus derivadas con respecto a a a una o m´ s variables independientes. ´ ´ Una ecuacion diferencial es unaEcuacion Diferencial Ordinaria si en ella intervienen solo derivadas de funciones de una variable. De lo contrario, dec´ ´ imos que la ecuacion diferencial es una Ecuacion Diferencial en Derivadas Parciales. ´ El orden de una ecuacion diferencial est´ dado por la derivada de orden a m´ s alto que aparezca en ella. a ´ Una ecuacion diferencial ordinaria de orden n se representa mediante la identidadF ( x, y, y′ , . . . , y(n) ) = 0 Definicion 1.2. Solucion ( o integral) de una ecuacion diferencial ordinar´ ´ ´ ia. ´ Una funcion real y = ϕ( x ) con al menos n derivadas definida en un inter´ ´ ı valo I es una solucion expl´cita de la ecuacion F ( x, y, y′ , . . . , y(n) ) = 0 en I (n) ( x )) = 0. si y solo si se cumple que F ( x, ϕ( x ), . . . , ϕ ´ ´ ´ Una relacion G ( x, y) = 0 es unasolucion impl´cita de la ecuacion ı F ( x, y, y′ , . . . , y(n) ) = 0 3

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´ CAPITULO 1. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

´ en un intervalo I si y solo si existe al menos una funcion y = ϕ( x ) que sat´ ´ isface la relacion G y la ecuacion diferencial en I. ´ ´ Por lo general una solucion de una ecuacion diferencial tiene una o m´ s a ´ constantes arbitrarias, tantas como indique el orden de laecuacion, es decir, es una familia n-param´ trica de soluciones. Cuando damos un valor e ´ ´ a las constantes obtenemos una solucion particular de la ecuacion. Si to´ ´ da solucion de la ecuacion se obtiene asignando valores a las constantes ´ de la familia n-param´ trica, decimos que ella es la solucion general de la e ´ ´ ´ ´ ecuacion. Una solucion singular es una solucion de la ecuacion diferencialque no puede obtenerse asign´ ndole valores a las constantes de la familia a n-param´ trica de soluciones. e Definicion 1.3. Problemas de valor inicial. ´ ´ Un Problema de valor inicial (P.V.I.) es una ecuacion diferencial para la cual ´ se especifican los valores de la funcion y algunas de sus derivadas en cierto punto llamado punto inicial. Un Problema de contorno o de frontera es una ´ ecuaciondiferencial en la cual se dan valores por lo menos para dos puntos ´ de la funcion o alguna de sus derivadas. Teorema de Picard. Existencia y unicidad de las soluciones. Teorema 1. Si f ( x, y) y f y ( x, y) son funciones continuas sobre un rect´ ngulo a cerrado R, entonces por cada punto ( x0 , y0 ) del interior de R pasa una y solo una curva integral (o curva soluci´ n) de la ecuaci´ n y′ = f ( x,y) o o Variables Separables. ´ Toda ecuacion que se puede escribir de la forma G (y) dy = H ( x ) dx se re´ suelve por integracion directa. Ecuaciones exactas. Sean M y N funciones de dos variables, continuas y con primeras derivadas ´ parciales continuas en una region abierta R del plano XY. ´ ´ Una ecuacion de la forma M( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0 es una ecuacion ex´ acta si y solo si existeuna funcion de dos variables F tal que Fx ( x, y) = M( x, y) y Fy ( x, y) = N ( x, y). ´ Una ecuacion es exacta si y solo si My ( x, y) = Nx ( x, y).

5 ´ ´ La solucion de la ecuacion diferencial exacta est´ dada por F ( x, y) = C, a donde F ( x, y) = M( x, y)dx + g(y) = N ( x, y)dy + h( x ) Factor Integrante. ´ A veces es posible transformar una ecuacion no exacta en exacta multiplicando por unfactor adecuado, que llamamos Factor Integrante, µ( x, y). En tal caso, debe cumplirse: µy M − µ x N = µ( Nx − My ) ´ Caso 1: Si µ es una funcion que solo depende de x, entonces el Factor Inteh( x )dx grante es e , donde h( x ) = 1 ( My − Nx ) N

´ Caso 2 : Si µ es una funcion que solo depende de y, entonces el Factor h(y)dy Integrante es e , donde h(y) = 1 ( Nx − My ) M

Caso 4: Si u( x, y)...