Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDUARDO MART´ INEZ

1. Existencia y unicidad de soluciones Una solucion del problema de valor inicial ψ(t, X, X ) = 0 X(t0 ) = X0 , es una funcion derivable ϕ : I ⊂ R → Rn , donde I es un intervalo abierto que contiene a [t0 , t0 + ] para algun > 0, tal que ψ(t, ϕ(t), ϕ (t)) = 0, para todo t ∈ I, y ϕ(t0 ) = X0 . Consideramos problemas de valor inicial enforma normal, es decir, la ecuacion diferencial esta en forma normal, X = f (t, X) X(t0 ) = X0 , donde f : D ⊂ R × Rn → Rn . Nos interesa saber si dicho problema tiene solucion, y en tal caso, si dicha solucion es unica. Notese que no es la primera vez que nos topamos con problemas sin solucion, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo: Consideremos la ecuacion de Euler tx − x = 0, que expresada enforma normal es x = x/t. Una solucion de dicha ecuacion es x(t) = At, donde A es una constante, y puede comprobarse facilmente que no existen mas soluciones. Todas estas soluciones satisfacen x(0) = 0, es decir valen cero en t = 0. Por tanto, cualquier problema de valor inicial tx − x = 0 x(0) = x0 , con x0 = 0 no tiene solucion. Teorema (Cauchy-Peano): Si f es una funcion continua en un entornodel punto (t0 , X0 ), entonces existe al menos una solucion del problema de valor inicial X = f (t, X) X(t0 ) = X0 . Notese que el teorema asegura la existencia de solucion, pero no dice nada sobre la unicidad de dicha solucion. El siguiente ejemplo muestra un problema de valor inicial con varias soluciones. Ejemplo: Consideramos el problema de valor inicial x = 3x2/3 x(0) = 0. Las funciones x1(t) = 0 y x2 (t) = t3 son ambas solucion de dicho problema. Por tanto, la solucion no es unica. Denotaremos por d(X, Y ) la distancia Euclidea en Rn , es decir d(X, Y ) = ||Y − X|| = (Y1 − X1 )2 + · · · + (Yn − Xn )2 .
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EDUARDO MART´ INEZ

´ Definicion: Decimos que una funcion f : D ∈ Rp → Rq es Lipschitziana, o que satisface la condicion de Lipschitz, si existe K > 0 tal que Decimosque f es localmente Lipschiziana en X0 ∈ D si existe un entorno abierto O ∈ D del punto X0 tal que f es Lipschiziana en dicho entorno. La condicion de Lipschitz es una condicion intermedia entre la condicion de continuidad y la condicion de continuidad de la derivada parciales. Mas exactamente • Si f es localmente Lipschitziana en un punto entonces es continua en dicho punto. • Si f es de clase C 1en un punto entonces f es localmente Lipschitziana en dicho punto. .[[Dar demostracion?]] Teorema (Picard-Lindel¨f): Sea f : D ⊂ R × Rn → Rn una funcion localmente o Lipchiziana con respecto a la variable X en un entorno O del punto (t0 , X0 ), es decir, existe K > 0 tal que Entonces el problema de valor inicial d f (t, X), f (t, Y ) ≤ Kd(X, Y ) para todos (t, X), (t, Y ) ∈ O. X = f (t, X) X(t0 )= X0 , tiene una unica solucion. La idea de la demostracion es identica a la del teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales. El problema de valor inicial se transforma en la ecuacion integral X(t) = X0 +
t t0

d f (X), f (Y ) ≤ Kd(X, Y ) para todos X, Y ∈ D.

f (τ, X(τ )) dτ ).

Se define la sucesion de funciones {Xk (t)} por recurrencia X0 (t) = X0 Xn+1 (t) = X0 +
t

f (τ,Xn (τ )) dτ ).

t0

Se puede demostrar que dicha sucesion converge uniformemente a una funcion X : I ⊂ R → Rn definida en un cierto intervalo I. Dicha funcion X es solucion del problema de valor inicial. A este respecto, notese que funciones definidas en intervalos distintos deben, en principio, considerarse funciones distintas, aunque en el dominio comun ambas tengan los mismos valores. Esdecir, si ϕ1 : I1 ⊂ R → Rn y ϕ2 : I2 ⊂ R → Rn son dos soluciones del mismo problema de valor inicial tales que ϕ1 (t) = ϕ2 (t) para t ∈ I1 ∩ I2 , entonces debemos considerar que ϕ1 = ϕ2 . Siempre podemos considerar la concatenacion de ambas funciones ϕ : I1 ∪ I2 ⊂ R → Rn , definida por ϕ(t) = ϕ1 (t) si t ∈ I1 . ϕ2 (t) si t ∈ I2

En consecuencia, si tenemos unicidad de la solucion, entre todas las...