Ecuaciones Diferenciales
Páginas: 11 (2614 palabras)
Publicado: 27 de julio de 2011
[pic]Ecuaciones Diferenciales
No existe un método general para resolver ecuaciones pero si existe método estándar para ciertas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Orden
Mayor derivada o diferencial
[pic]
Grado
Exponente del mayor orden de su derivada
[pic]
Solución De Una Ecuación Diferencial
[pic] [pic] [pic]y= G(x) + c Solución General Ecuac. Dif
1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 1º Orden
A. Ecuación Diferencial de Variable Separable
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ejemplos
1.
[pic]
[pic]
Entonces
[pic]
2.[pic]
[pic][pic]
[pic][pic][pic][pic]
*) Remplazar (3) en (1)
[pic][pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic][pic][pic][pic]
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
La ecuación diferencial de M(x,y) + N(x,y)=0, será llamada homogénea si las funciones de M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas y del mismo grado.
M (x,y) + N (x,y) = 0
• La funcion f(x,y), es funciónhomogénea si cumple esta condición:
f(x,y) [pic]
Ejm:
[pic]
F(x,y) es función homogénea de grado 2
Cuadro Pictográfico
Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas
Sea dos rectas:
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Si el determinante es igual a cero las rectas son paralelas, pot lo tanto, no tiene punto deintersección.
Si el determinante es diferente de cero, las rectas tienen punto de intersección.
a) Sea la ecuación diferencial ([pic])dx + ([pic])dy =0….([pic])
[pic]
[pic]
b) Sea la ecuación diferencial ([pic])dx + ([pic])dy = ….([pic])
[pic]
Se hace el cambio t= a1x + b1y dt= a1dx + b2dy , remplazando en ([pic])
Tenemos como resultadouna Ecuación . Diferencial. De Variable Separable
c) Cuadro Pictográfico
d. Ecuaciones Diferenciales Exactas
[pic]
e. Ecuaciones Diferenciales Reducible a Exactas
f. Ecuaciones Diferenciales Lineales
Es cuando la variable dependiente (y) y sus respectivas derivadas son lineales (están elevadas en exponente uno).
Ejemplo:
[pic] Ecuacióndiferencial lineal
[pic] Ecuación diferencial NO lineal
Cuadro Pictográfico
Ejm :
[pic]
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
a.- Temperatura:
Un químico desea enfriar desde 80°c hasta 60°c una sustancia contenida en una matraz, se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que se circula agua a15°c. Se observa que después de dosminutos la temperatura ha descendido a 70°c. Estimar el tiempo total de enfriamiento.
[pic]
Datos:
[pic]
En (a)
[pic]
[pic]
[pic]
=> [pic]……. (b)
En (b)
[pic]
PROBLEMAS
1. Un cuerpo cuya temperatura es de 80°F se coloca en el tiempo t=0, en un medio en que la temperatura se conserva a 50°F. Después de 5 min. El cuerpose ha enfriado hasta una temperatura de 70°F. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 10 minutos?. Cuando la temperatura del cuerpo será 60°F?
2. Un Cuerpo se enfría desde 60°c hasta 50°c en 15 minutos, y el aire en que se encuentra se conserva en 30°c ¿En qué tiempo se enfriara el cuerpo desde 100°c hasta 80°c , en el aire que se conserva a 50°c.
3. Una barra metálica a unatemperatura de 100°F se coloca a un cuarto a una temperatura constante de 0°F. Si después de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50°F ¿Hallar el tiempo que gastará la barra para llegar a una temperatura de 50°F?, ¿Cuál es la temperatura de la barra después de 10 min.?.
4. Un cuerpo a una temperatura de 50°F se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100°F. Si después de 5 min....
No existe un método general para resolver ecuaciones pero si existe método estándar para ciertas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Orden
Mayor derivada o diferencial
[pic]
Grado
Exponente del mayor orden de su derivada
[pic]
Solución De Una Ecuación Diferencial
[pic] [pic] [pic]y= G(x) + c Solución General Ecuac. Dif
1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 1º Orden
A. Ecuación Diferencial de Variable Separable
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ejemplos
1.
[pic]
[pic]
Entonces
[pic]
2.[pic]
[pic][pic]
[pic][pic][pic][pic]
*) Remplazar (3) en (1)
[pic][pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic][pic][pic][pic]
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
La ecuación diferencial de M(x,y) + N(x,y)=0, será llamada homogénea si las funciones de M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas y del mismo grado.
M (x,y) + N (x,y) = 0
• La funcion f(x,y), es funciónhomogénea si cumple esta condición:
f(x,y) [pic]
Ejm:
[pic]
F(x,y) es función homogénea de grado 2
Cuadro Pictográfico
Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas
Sea dos rectas:
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Si el determinante es igual a cero las rectas son paralelas, pot lo tanto, no tiene punto deintersección.
Si el determinante es diferente de cero, las rectas tienen punto de intersección.
a) Sea la ecuación diferencial ([pic])dx + ([pic])dy =0….([pic])
[pic]
[pic]
b) Sea la ecuación diferencial ([pic])dx + ([pic])dy = ….([pic])
[pic]
Se hace el cambio t= a1x + b1y dt= a1dx + b2dy , remplazando en ([pic])
Tenemos como resultadouna Ecuación . Diferencial. De Variable Separable
c) Cuadro Pictográfico
d. Ecuaciones Diferenciales Exactas
[pic]
e. Ecuaciones Diferenciales Reducible a Exactas
f. Ecuaciones Diferenciales Lineales
Es cuando la variable dependiente (y) y sus respectivas derivadas son lineales (están elevadas en exponente uno).
Ejemplo:
[pic] Ecuacióndiferencial lineal
[pic] Ecuación diferencial NO lineal
Cuadro Pictográfico
Ejm :
[pic]
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
a.- Temperatura:
Un químico desea enfriar desde 80°c hasta 60°c una sustancia contenida en una matraz, se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que se circula agua a15°c. Se observa que después de dosminutos la temperatura ha descendido a 70°c. Estimar el tiempo total de enfriamiento.
[pic]
Datos:
[pic]
En (a)
[pic]
[pic]
[pic]
=> [pic]……. (b)
En (b)
[pic]
PROBLEMAS
1. Un cuerpo cuya temperatura es de 80°F se coloca en el tiempo t=0, en un medio en que la temperatura se conserva a 50°F. Después de 5 min. El cuerpose ha enfriado hasta una temperatura de 70°F. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 10 minutos?. Cuando la temperatura del cuerpo será 60°F?
2. Un Cuerpo se enfría desde 60°c hasta 50°c en 15 minutos, y el aire en que se encuentra se conserva en 30°c ¿En qué tiempo se enfriara el cuerpo desde 100°c hasta 80°c , en el aire que se conserva a 50°c.
3. Una barra metálica a unatemperatura de 100°F se coloca a un cuarto a una temperatura constante de 0°F. Si después de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50°F ¿Hallar el tiempo que gastará la barra para llegar a una temperatura de 50°F?, ¿Cuál es la temperatura de la barra después de 10 min.?.
4. Un cuerpo a una temperatura de 50°F se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100°F. Si después de 5 min....
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