Ecuaciones Diferenciales

APUNTE Nº4 Algo de Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones en variables separadas Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden. Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tiposespecíficos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, algunas de las cuales estudiaremos. Definición [Ecuación diferencial separable] Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden f(x, y, y’) = 0 que puede escribirse en la forma f(x)dx + g(y)dy = 0 se llama ecuación diferencial en variables separadas. Observación: una ecuación de la forma:f1(x)g1(y)dx  f2(x)g2(y)dy = 0 puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor f2(x)g1(y)

f1( x ) g ( y) dx  2 dy  0 f2( x ) g1 ( y )
y al integrar obtenemos la solución

 f ( x )dx   g ( y )dy
2 1

f1( x )

g2 ( y )

Tenga presente que al dividir por el factor f2(x)g1(y) puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser solucionessingulares. Ejemplo Nº1: Resuelva la ecuación diferencial ordinaria 3e tan( y )dx  ( 2  e ) sec ydy  0 .
x x 2

Resolución:

3e x sec 2 y dx  dy  0 , y al Dividiendo por el factor tan(y)(2 – e ) obtenemos tan y 2  ex
x

integrar obtenemos  3 ln 2  e x  ln tan y  c . Simplificando,
tan y  e c , y despejando, y  arctg [( 2  e x )3 e c ] . x 3 (2e )

Observe que el factortan(y)(2 – ex) es cero cuando y = ln(2), e, y = k con kZ y al sustituir en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando c = + y c = 0, respectivamente.

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Ejemplo Nº2: La pendiente de una familia decurvas está dada por: el miembro de la familia que pasa por el punto (2, 1). Resolución: Separando variables Integrando
y x dy   dx . 2 3 y 2  x2

dy 3 x  xy 2 . Encuentre  dx 2 y  x 2 y

 3 y

y

2

dy  

1 1 x dx  0 , obtenemos ln( y 2  3 )  ln( x 2  2 )  c . 2 2 2 2 x

Simplificando ( y 2  3 )( x 2  2 )  e 2 c , o bien, ( y 2  3 )( x 2  2 )  k . Evaluando en elpunto (2, 1) obtenemos que k = 24, con lo cual el miembro de la familia buscado es ( y 2  3 )( x 2  2 )  24 . La recta tangente a la curva ( y 2  3 )( x 2  2 )  24 en el punto (2, 1) se muestra en la figura 1.

Figura 1: Recta tangente a la curva ( y 2  3 )( x 2  2 )  24 .
dy 4 y 2  x 4  no es separable, pero se dx 4 xy convierte en separable al hacer el cambio de variable y = ux.Ejemplo Nº3: La ecuación diferencial ordinaria

Resolución:

Al tratar de separar variables llegamos a la ecuación 4 ydy  no es separable.

4 y 2  x4 dx la cual x

Por otro lado, al hacer el cambio de variable y = ux, se tiene que y’ = xu’ + u; con lo que al sustituir en la ecuación diferencial original obtenemos

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2 2 4 2 2 2

du x 4u x  x 4u  x x , y simplificando, resulta ,   u 2 dx 4u 4u 4u 4ux la cual es separable: 4udu = xdx.

xu' u 

y x2 , volvemos a la  c y como u = x 2 2 x2  y variable original y tenemos la solución buscada, 2   c. 2 x

Al integrar llegamos a la solución 2u 2 

Ecuaciones lineales deprimer orden resolubles por Factor Integrante. Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuación de este tipo. Definición [Ecuación lineal] Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma donde P(x) y Q(x) son funciones reales, se llama ecuación diferencial lineal....