ecuaciones diferenciales

1. Mec¶anica y Electricidad
Una de las m¶as famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coe¯cientes constantes es
® uÄ + ¯ u_ + ° u ´ ®
d2u
dt2 + ¯
du
dt
+ ° u = ¤(t)
La cual utiliza para describir sistemas mec¶anicos y toma la forma
m
d2x
dt2 + ´
dx
dt
+ k x = F (t) donde
8>>>>>><
>>>>>>:
x ) Desplazamiento
dx
dt ) Velocidad
m ) masa
´ ) Constante deAmortiguamiento
k ) Constante El¶astica
F (t) ) Fuerza Aplicada
y circuitos el¶ectricos
L
d2Q
dt2 + R
dQ
dt
+
1
C
Q = E (t) donde
8>>>>>><
>>>>>>:
Q ) Carga El¶ectrica
dQ
dt = I ) Intensidad de Corriente
L ) Inductancia
R ) Resistencia
C ) Capacitancia
E (t) ) Fuerza Electromotriz
Analicemos la ecuaci¶on que describe sistemas mec¶anicos y dejamos la que describe sistemas el¶ectricospara un an¶alisis posterior. El primero de los casos a analizar ser¶a el de las oscilaciones libres, vale decir
F (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales ho-
mog¶eneas. En contraste, si F (t) 6= 0; es decir, el caso inhomog¶eneo, estaremos describiendo oscilaciones
forzadas.
2. Oscilaciones libres no amortiguadas
Analicemos pues delcaso del oscilador arm¶onico libre, i.e.
m
d2x
dt2 + k x = 0 ) x (t) = C1 cos (!0t) + C2 sen (!0t) con !0 =
r
k
m
!0 se denomina la frecuencia natural de oscilaci¶on y C1 y C2 las constantes de integraci¶on que se
determinan de las condiciones iniciales. Es claro que
si
½
C1 = Acos ±
C2 = Asen ±
) x (t) = C1 cos (!0t) + C2 sen (!0t) , x (t) = Acos (!0t + ±)
con R la amplitud y ± en¶angulo de fase. Obviamente, el per¶³odo del movimiento ser¶a
T =
2¼
!0
= 2¼
r
m
k
2
Ejemplo Como un ejemplo analicemos el caso de un sistema en el cual m = 0;1 Kg. y k = 0;4 N/m
En este caso la frecuencia angular !0 =
q
k
m = 2 rad/sg. La ecuaci¶on diferencial que describe este
movimiento ser¶a
d2x
dt2 + 4 x = 0 ^
8>>>><
>>>>:
x (0) = 1; dx
dt
¯¯
t=0 = 0; ) x (t) = cos(2t)
x(0) = 4; dx
dt
¯¯
t=0 = 0 ) x (t) = 4 cos (2t)
x (0) = ¡2; dx
dt
¯¯
t=0 = 0 ) x (t) = ¡2 cos (2t)
Figura 1: Oscilador arm¶onico libre. Cambios en la posici¶on inicial no afectan la frecuencia natural.
d2x
dt2 + 4 x = 0 ^
8>>>><
>>>>:
x (0) = 0; dx
dt
¯¯ t=0 =
1; )
x
(t) =
1
2 sen(2t)
x (0) = 0; dx
dt
¯¯
t=0 = 4; ) x (t) = 2 sen (2t)
x (0) = 0; dx
dt
¯¯
t=0 = ¡2 ) x (t)= ¡sen (2t)
3. Oscilaciones Libres Amortiguadas
Consideremos que en el movimiento act¶ua una fuerza de amortiguaci¶on proporcional a la velocidad,
por lo cual el movimiento viene descrito por
m
d2x
dt2 + ´
dx
dt
+ k x =
d2x
dt2 + 2¹
dx
dt
+ !2
0 x = 0
3
Figura 2: Oscilador Arm¶onico Libre. Cambios de velocidad incial no afectan la frecuencia natural
la cual constituye unaecuaci¶on diferencial lineal homog¶enea de segundo orden. Las ra¶³ces del polinomio
caracter¶³stico asociado ser¶an
r =
¡´ §
p
´2 ¡ 4km
2m
= ¡
´
2m
§
r³ ´
2m
´2
¡
k
m
= ¡¹ §
q
¹2 ¡ !2
0
por lo tanto la soluci¶on ser¶a
x (t) = C1e
³
¡
³
¹+
p
¹2¡!2
0
´
t
´
+ C2e
³
¡
³
¹¡
p
¹2¡!2
0
´
t
´
de donde se deducen los siguientes casos
x (t) = C1 er1t + C2 er2t ( ¹2 ¡ !20 > 0 Sobreamortiguado
x (t) = (C1 + C2 t) e¹ t ( ¹2 ¡ !2
0 = 0 Cr¶³tico
x (t) = e¡¹ t
n
C1 cos
h³p
!2
0 ¡ ¹2
´
t
i
+ C2 sen
h³p
!2
0 ¡ ¹2
´
t
io
( ¹2 ¡ !2
0 < 0 Subamortiguado
Ejemplo Como un ejemplo analicemos el mismo caso del sistema anterior en el cual m = 0;1 Kg. y
k = 0;4 N/m, s¶olo que ahora la constante de amortiguamiento ser¶a ´ = 0;60; 0;40 y 0;15 En todos loscaso la frecuencia angular !0 =
q
k
m = 2 rad/sg. y la cantidad subradical
¡
¹2 ¡ !2
0
¢
corresponder¶a a
los tres casos anteriormente mencionados. Las ecuaciones diferenciales que describen este movimiento
4
ser¶an
d2x
dt2 + 6 dx
dt + 4 x = 0 ^
8<
:
x (0) = 0
dx
dt
¯¯
t=0 = 4
9=
; ) x (t) =
³
1
2 + 7
2
p
5
´
e(p
5¡3)t +
³
1
2 ¡ 7
2
p
5
´
e¡(3+
p
5)t...