Ecuaciones diferenciales

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Ecuacion diferencial de ricatti
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos .
Conocida dicha solución, se hace el cambio:

yreemplazando, se obtiene:

es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio
,
esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Ecuación diferencial de clairout
La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, esuna ecuación diferencial ordinaria de la forma:

Para resolver la ecuación, diferenciamos respecto a x, quedando:

por tanto

y así:

ó

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.
El otro caso,

define sólo unasolución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ejemplo:
Resolver:

Hacemos

por tanto

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es

de la cual podemos obtener y integrando dos veces, asísiendo D y E otras dos constantes cualquiera.
Solución:

Ecuación de la catenaria
Ilustremos el caso b con otro ejemplo. La catenaria es la curva que forma una cuerda atada a sus extremos y que cae bajo la acción de su propio peso. Con designamos el segmento de cuerda que va del punto más bajo hasta el punto donde medimos la tensión  con  medimos la tensión de la cuerda en su punto más bajo ycon designamos la densidad de la cuerda ( en el caso en que la cuerda sea homogénea  es constante) y entonces  mide el peso de la cuerda.

Entonces tenemos:

De (1.3.13) obtenemos

Derivamos en (1.3.14) y obtenemos

Supongamos que la cuerda es homogénea, ésto es:  una constante, entonces reescribimos (1.3.15) así:

La ecuación (1.3.16) es la ecuación diferencial de la catenaria y se puede resolvercomo lo explicamos en el caso b.
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Aplicaciones

Las columnas de la Sagrada Familia de Barcelona siguen una catenaria.
Dado un elemento lineal sometido sólo a cargas verticales, la forma catenaria es la forma precisamente la forma del eje baricéntrico que minimiza las tensiones. Esa propiedadpuede aprovecharse para el diseño de arcos. Así puede demostrarse que un arco en forma de catenaria invertida es precisamente la forma que minimiza los esfuerzos de compresión sobre dicho arco.
Por esa razón, una curva catenaria invertida es un trazado útil para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Antoni Gaudí.
Problema
Sea una cadena de bolitasmetálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.
La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

Todas lascomponentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.
Tx=Tcos0= Tcosi= Tcosi+1 =TcosN+1
Dividiendo la segunda ecuación por Tx tenemos la siguiente relación entre el ángulo  i y el ángulo  i+1

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro  . La relación...
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