Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIABLES DE PRIMER ORDEN. Cristian J. Tójar Ganivet. Grado Ingeniería Mecánica.

Nombre
Ecuación diferencial de la familia de curvas.

F ( x, y , λ ) = 0 ∂F ∂F + ⋅ y´= 0 ∂x ∂y
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 P ( x, y ) = − g ( x ) Q ( x, y ) = h ( y ) h( y ) = g ( x) P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0

Forma

Cambio
No hay

Ejemplo
xy 3 − λ ( x + y ) = 0

Comentario
Seelimina λ entre las 2 ecuaciones.

Derivando respecto de x y 3 + 3 xy 2 y´−λ (1 + y´) = 0
(1 + y 2 )dx + xydy = 0

Ecuación con variables separables.

No hay

Se puede poner de la forma:
−y 1 dy = dx 2 x 1+ y

Es la forma más simplificada de una ecuación diferencial.

Ecuación homogénea.

Tal que P y Q son homogéneas del mismo grado, entonces Q/P es homogénea de grado 0 y eshomogénea.

y = ux y´= u´x + u
a 2 b2 ≠ a1 b1

2 xydx − (3x 2 − y 2 )dy = 0

P y Q son ambas ecuaciones de grado 2.

Una ecuación homogénea de grado “m” cumple f ( λ x , λ y ) = λ m f ( x, y )

Ecuaciones que se pueden transformar en homogéneas.

 a x + b1 y + c1 y´= f  1 a x+b y+c  2 2 2

   

cambio x = u +α y =v+β
a 2 b2 = a1 b1

y´=

2y −1 y+x

Se transforma en unahomogénea.

( x − 2 y − 1)dx + (3 x − 6 y + 2)dy = 0

cambio
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 ∂F ( x, y ) = P ( x, y ) ∂x ∂F ( x, y ) = Q ( x, y ) ∂y ∂P( x, y ) ∂Q( x, y ) = ∂y ∂x z = a1 x + b1 y

Se transforma en una ecuación de variables separadas mediante el cambio. Se hace por pasos: 1º.- Se integra P(x,y) respecto de x 2º.- Se calcula k(y)derivando lo anterior respecto de y 3º.- Se sustituyek(y) en a) (página 37 libro antiguo)

Ecuación diferencial exacta.

Y se cumple que

No hay cambio se calcula la función potencial.

(2 x + e y )dx + xe y dy = 0

Nombre

Forma
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 Existe µ ( x, y ) (factor integrante) que hace que µ ( x, y )[P( x, y )dx + Q( x, y )dy ] = 0 sea diferencial exacta. ∂µ ( x, y ) ∂µ ( x, y ) P ( x, y ) − Q ( x, y ) ∂y ∂xCambio

Ejemplo

Comentario
Lo que se hace es hipótesis que simplifiquen la ecuación, en el ejemplo anterior se continúa suponiendo que µ es independiente de x por ∂µ tanto = 0 y lo demás es ∂x más simple. Pág. 40 libro antiguo. ecuación homogénea asociada y´+ f ( x) y = 0 La solución de la lineal es la integral de la homogénea más una solución particular. Mediante el cambio se transforma enuna ecuación lineal. Se resuelve:

Ecuación diferencial no exacta.

No se hace cambio pero se desarrolla lo (*)

 ∂P( x, y ) ∂Q( x, y )  + µ ( x, y )  − =0 ∂x   ∂y  (*)
y = u ⋅v y´= u´⋅v + u ⋅ v´

( xy 2 − y 3 )dx + (1 − xy 2 )dy = 0 No es diferencial exacta, pero si ∂u ∂u y 2 ( x − y ) − (1 − xy 2 ) ∂y ∂x + 2 µy ( x − y ) = 0

Ecuación lineal de primer orden.

y´+ f ( x) y + g (x) = 0

y´+

y + x3 = 0 x

Ecuación de Bernouilli.

y´+ f ( x) y + g ( x) y = 0
n

= (1 − n) z y n −1 1 y´= z´ yn

1

y´+2 xy − xy 2 = 0

Ecuación de Riccati.

y´+ f ( x) y 2 + g ( x) y + h( x) = 0

Se utilizan dos soluciones particulares en el siguiente cambio y − ϕ1 ( x ) u= y − ϕ 2 ( x)

y´+ y 2 + 6 xy + 9 x 2 = 0

1 u´= f ( x)[ϕ 2 ( x) − ϕ1 ( x)] dan u do comoresultado: u = Ce ∫ f ( x )[ϕ2 ( x )−ϕ1 ( x ) ]dx

Y luego se sustituye el valor de u en el cambio. El ejemplo anterior nos dará las soluciones:
y´=

Ecuaciones de grado n respecto a y´.

( y´)n + P ( x, y)( y´)n−1 + P2 ( x, y)( y´)n−2 + Lo que se hace 1 es resolver las .......+ Pn−1 ( x, y)( y´) = 0 soluciones de la ecuación.

( x 2 ) y´+ (3 xy ) y´+( 2 y 2 ) = 0

− 2y => y ´ + 2 y = 0 x − y yy´= => y ´ + = 0 x x

Se resuelven las dos diferenciales

Nombre

Forma
Si en f(y,y´) se puede despejar y=g(y´)

Cambio
y´ = p dy = p dx

Ejemplo
y = ( y´−1)e y´ y´= p dy = pdx

Comentario
Solución general g´( p) dp + C x=∫ p y = g ( p) Solución general y = ∫ pg´( p ) dp + C
x = g ( p)

Si en f(x,y´) se puede despejar x=g(y´) Ecuaciones de la forma f(y,y´)=0, f(x,y´)=0. Si...