Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.

Alumno: Sergio Hernández Ochoa
Grupo: MA41V
Matricula: 11230011
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Profesor: Ing.Carlos Javier Zapata Domínguez

Ecuaciones diferenciales homogéneas.
1) Si el segundo miembro de la ecuación
dydx=f(x,y)
Se puede expresar como función delcociente yx solamente, entonces se dice que la ecuación es homogénea.
2) Ecuaciones de la forma dydx=Gax+by
Entonces la sustitución z=ax+by
Ejemplos:
1)xy+y2+x2dx-x2dy=0
dydx=xy+y2+x2x2
dydx=yx+yx2+1
Ecuación homogénea
v=yx dydx=v+xdydx
Sustituyendo
v+xdvdx=v+v2+1
1dvv2+1=dxx
arctanv=lnx+c
v=tanlnx+cy=x tan(lnx+c)

2)
dydx=y-x-1+x-y+2-1
y-x-1+x-y+2-1=-x-y-1+x-y+2-1
sea z=x-y dzdx=1-dydx
Sustituyendo1-dzdx=-z-1+z+2-1

-dzdx=-z-2+z+2-1

-dzdx=-z+2+1z+2=-z+2z+2z+2+1z+2=-z+22+1z+2dx

12z+2z+2-1dz=dx

12lnz+22-1=x+c

elnz+22-1 =e2x+c=e2x ec

z+22-1=ce2xx-y+22=ce2x+1

x-y+2=ce2x+1
y=x-ce2x-1
3)
xy+y2dx-x2dy=0

xy+y2dx=x2dy

xyx2+y2x2=dydx

yx+y2x2=dydx

v+v2=v+xdvdx
v2=xdvdx

dxx=dvv2lnx+c=v-1-1
lnx-1+c=1v
(lnx-1+c) (v)=1
(lnx-1+c) (yx)=1
lnx-1+cy=x
y=xlnx-1+c

4)
dydx=x2-y23xy=x23xy-y23xy
xdvdx=13v-v3-v
xdvd=13v-43v=v-4v23v
3v-42+vdv=dxx-34-4-4v+1dv=dxx
-34ln-4v+1=lnx+c
eln-4v+1=elnx-4/3 + c
-4v+1=cx-43
-4vx+1=cx-43
y=-x4cx-43-1

5)
dydx=2y2-x2xy =2yx-xy
v+xdvdx=2v-1v-v
xdvdx=v-1v=v2-1v
vv2-1dv=dxx
12vv2-1dv=dxx
elnv2-1=elnx2+c
v2-1=lnx2+c
v2-1=cx^2
v2=cx2+1
y2x2=(cx2+1)
y2=(cx4+x2)
y=cx4+x2