Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
Recordando que una ecuación diferencial lineal de orden  se representa como:

donde si  entonce la ecuación diferencial

es una ecuación diferenciallineal homogénea de n-ésimo grado y si ademas tenemos que la ED está sujeta a: 

 como condiciones en  denominadas iniciales.

Entonces nos enfrentamos a un problema de valor inicial de n-ésimoorden. Cuya solución  existe y es única si se cumple que:

Los coeficientes de la variable dependiente  y sus derivadas, es decir  y la función de entrada  son continuas en  y además,  es un puntocontenido dentro del intervalo.

Operador Diferencial
Una ED se puede expresar en términos del operador diferencial lineal  donde  es decir es una forma simplificada de representar "la derivada conrespecto a".

Por ejemplo:
 y la segunda derivada 

entonces la ED 

se puede escribir:

 

que además el operador diferencial se puede manipular algebraicamente, factorizando :

Aquívemos que al factorizar los operadores, una forma mas sencilla de representar una ecuación diferencial es.

 para una ecuación diferencial lineal homogénea

o

 para una ecuación diferencial linealno homogénea.

Principio de superposición, ecuaciones homogéneas.
Si se tienen k soluciones a una ED homogénea de n-ésimo orden en un intervalo  entonces la combinación lineal.

,

donde  sonconstantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

De lo anterior surgen como corolarios los siguientes:

* un múltiplo constante de una solución  por ejemplo  también essolución.
* Una ED homogénea posee siempre la solución trivial .
Ejemplo.
Las funciones  y  son soluciones de la ecuación diferencial homogénea  en el intervalo . Por el principio de superposición.

estambién una solución dela ecuación en el intervalo.

Otro concepto importante que debe satisfacer un conjunto de soluciones es que sean linealmente independientes.

Si se tienen n soluciones y...