Ecuaciones diferenciales

INTRODUCCIÓN A LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1

1.2
1.3

Definiciones y terminología
Problemas de valor inicial
Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
Ejercicios de repaso

Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo
de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se

I

invierte bastantetiempo en resolver ecuaciones, como x2 + 5x + 4 = 0 con la variable x,
en este curso vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y” + 2y’ + y = 0, para
conocer la función y. Pero antes de comenzar cualquier cosa, el lector debe aprender
algo de las definiciones y terminología básicas en este tema.

1

2

CAPíTUlO 1 INíRODUCCdN

A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIONES YTERMINOLOGiA
n
n
n
n

Ecuaciones diferenciales onlinarias y en derivadas parciales n orden de una ecuación
Ecuaciones lineales y no lineales W Solucibn de una ecuación diferencial
Soluciones explícitas e implícitas n Solución tn.vial n Familia de soluciones
Solución particular n Solución general n Sistemas de ecuaciones diferenciales

Ecuación diferencial

En cálculo aprendimos que laderivada, dy/a!q de la función y =
&x) e;s en sí, otra función de xZque se determina s&uiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si
y = 8, entonces dyldx = 2x3. Al reemplazar ti por el símbolo y se obtiene

(1)

2 = 2 xy.

El problema al que nos encararemos en este curso no es “dada una función y = &), determinar
su derivada”. El problema es “dada una ecuación diferencial, como la ecuación 1 ,¿hay algún
método por el cual podamos llegar a la función desconocida y = $(x)?”

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

Clasificación según el tipo

Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una
o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice
que e s una ecuación diferencialordinaria. Por ejemplo

4
&+lOy=ex y

- d2y -

4+sy,()

aPdx

son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de
una o más variables dependientes, respecto de dos o mgs variables independientes, se llama
ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo,
-au = - av-

ay

ax

3- a2u
a2u

Y

a2

ai

son ecuaciones en derivadas parciales,Clasificación según e l orden El orden de una ecuacibn diferencial (ordinaria o en
derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,
segundo

orden

4

1

primer

orden

ic?!+ 43- 4y = ex
caz ( dx 1

Sección 1 .l Definiciones y terminohgía

3-

es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación (y - x) ch + 4x u’y = 0 se puedeescribir en la forma
4xz+y=x
si se divide entre la diferencial ~5, es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden.
Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante los
símbolos

W, Y, Y’, . . ., y’“‘) = 0.

(2)

En las explicaciones y demostraciones de este libro supondremos que se puede despejar la
derivada de orden máximo,yc”), de una ecuación diferencial de orden n , como la ecuación (2);
esto es,
y’“’ = f(x., y, y’, . . . , y”-1’).

Clasificación según la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuación diferencial de la forma y (“) =f(x, y, y’, . . ., y(” - ‘)) e s lineal cuandofes una función lineal dey, y ’,
. . ., y(” - ‘). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma
a n (x)Q + a - l(X) d”- ‘v + . . + al(x) fa!ch+ ao y = g(x).
dr”
n
UV-l
En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:
i) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia
de todo término donde aparece y es 1.
ii) Ca& coeficiente sólo depende de X, que es la variable independiente.
Las...