Ecuaciones Diferenciales




APUNTES DE CLASE
Segunda parte





ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE ORDEN N LINEAL (PRIMER GRADO)
DEFINICIÓN:
Una EDO de orden n lineal es una ecuación diferencial que tiene la forma general

(*)

donde cada son funciones que dependen de o son constantes.
En particular, si n=2 tenemos
EDO DE SEGUNDO ORDEN LINEAL

EDO DE PRIMER ORDEN LINEALNOTAS:
Si todas las funciones son constantes (ninguna depende de x) entonces se dice que la EDO (*) es una ecuación diferencial ordinaria de orden n lineal con coeficientes constantes.
En caso contrario, es decir alguna de las funciones coeficientes depende de x, entonces se dice que (*) es una ecuación diferencial ordinaria de orden n lineal con coeficientes variables.
La ecuación diferencialordinaria de primer orden lineal (conocida como EDO LINEAL) de la forma siempre se puede resolver exactamente utilizando un factor integrante como ya se vió anteriormente.
Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n2 no se conoce aún una fórmula general como la que se utiliza para las de primer orden, excepto para algunos casos especiales.
La EDO de orden n lineal concoeficientes constantes siempre tiene solución.
Si la ecuación (*) se llama homogénea.


NOTACIÓN DE OPERADORES
Suponiendo que entonces
significa derivada de primer orden de y respecto de x
significa derivada de orden n de y respecto de x
la misma derivada multiplicada por

Para representar en forma simplificada una EDO de orden n lineal se define la notacióndonde cada es una constante o una función de x,

Ejemplos:
Escribir en notación de diferenciales las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.
2.


DEFINICIÓN
La EDO de orden n lineal se llama ecuación homogénea o complementaria o reducida de la ecuación
.
TEOREMA 1
Dada la ecuación
Si es una solución de la ecuación dada y es una solución de la ecuacióncomplementaria, entonces la suma de éstas es solución de la original.

TEOREMA 2
La solución general de la EDO se puede obtener así:
Hallar la solución general de la ecuación complementaria (homogénea)
Hallar una solución particular de la ecuación original.
es la solución general de la ecuación original.


EDO DE ORDEN N LINEAL COMPLEMENTARIA (HOMOGÉNEA)
CON COEFICIENTES CONSTANTESTEOREMA 3

Si son soluciones de la ecuación complementaria, entonces (la combinación lineal de ellas) también lo es.

OBSERVACIONES IMPORTANTES
1. Si el número de constantes esenciales en una solución es igual al orden de la ecuación diferencial, entonces esa es la solución general de la ecuación complementaria.
2. El teorema 3 es aplicable cuando los coeficientes son constantes ytambién cuando son variables.
3. Cuando los coeficientes son CONSTANTES siempre existen soluciones de la forma


DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE SOLUCIONES. EL WRONSKIANO

DEFINICIÓN:
Sean n funciones que dependen de x definidas en un intervalo I
i. El conjunto de funciones es linealmente independiente (li) si y solo si dada la combinación lineal de esas funciones se cumplesolamente si cada coeficiente son todos iguales a cero, es decir
ii. El conjunto de funciones es linealmente dependiente (ld) si y solo si dada la combinación lineal de esas funciones se cumple con al menos uno de los coeficientes diferente de cero.
Si esto último sucede significa que al menos una de las funciones se puede despejar en términos de las demás, y por lo tanto, al menos uno de loscoeficientes no es esencial. En tal caso y de acuerdo con las observaciones en el teorema 3, la combinación lineal no sería la solución general de la EDO de orden n.

DEFINICIÓN
Si son funciones de x, se define el WRONSKIANO de como el ¨determinante¨


Si son funciones de x, se define el WRONSKIANO de como el ¨determinante¨


TEOREMA
es un conjunto l.i. si y solo si en un...