Ecuaciones diferenciales

Universidad Pedagógica Experimental Libertador
Instituto Pedagógico Rural “El Mácaro”
Centro de Atención Valle de la Pascua

Unidad Curricular: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Educación especialidad: Matemática Participantes: Correa Mota, Sorelys C.I: 15.083.966
Cohorte: I-08 Sección: U Ramos García, Wilder G C.I: 19.361.287

ObjetivoN°2: Ecuaciones Exactas, Teorema Criterio para una Ecuación Diferencial Exacta, Método de Solución para una Ecuación Diferencial Exacta.

1. DEFINICIÓN DE UNA ECUACIÓN EXACTA: Una Ecuación Diferencial Mx,ydx+Nx,ydy es una diferencial exacta en una región R del plano xy, si corresponde a la diferencial de alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma: M (x,y) dx+ N(x,y)dy = 0, es una ecuación diferencial exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

2. TEOREMA CRITERIO PARA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA: Sean continuas M(x,y) y N(x,y), con derivadas parciales continuas en una región rectangular, R, definida por a< x < b, c < y < d. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que Mx,ydx+Nx,ydy sea unadiferencial exacta es que: ∂M ∂y = ∂N∂x

3. MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA: Dada una ecuación de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, se determina si es válida la igualdad ∂M ∂y = ∂N∂x En caso afirmativo, existe una función f para la cual ∂f ∂x=M(x,y); entonces, se puede determinar f si integramos M(x, y) con respecto a x, manteniendo y constante:

en donde lafunción arbitraria g(y) es la “constante” de integración. Ahora derivamos (5) con respecto a “y”, y suponemos que ∂f∂y = N(x, y):
∂f∂y=∂∂yMx,ydx+g´y=N(x,y)

Esto da: g´y= Nx,y-∂∂yMx,ydx (6)
Por último integramos (6) con respecto a “y”, y sustituimos el resultado en la ecuación (5). La solución de la ecuación es f(x, y) = c4. EJERCICIOS RESUELTOS
1) Determine cuál de las siguientes Ecuaciones Diferenciales es exacta, en caso afirmativo debe resolver.
a) (2x – 1) dx + (3y + 7) dy = 0
Solución: Sea M(x,y) = 2x – 1 y N(x,y) = 3y + 7
Se debe verificar ∂M ∂y = ∂N∂x ; en consecuencia:

∂M∂y = (2x-1)ʹ = 0 ∂N∂x = (3y + 7)ʹ = 0
Por lo tanto, la Ecuación Diferencial es unaEcuación Exacta; entonces, existe una f(x,y) para que ∂f∂x = M(x,y) = 2x-1 y ∂f∂y = N(x,y) = 3y + 7
fx,y= 2x-1dx= 2xdx- dx=2xdx- dx=x2- x+g(y)
∂∂y=x2- x+gy'= g'(y)
Se iguala ∂∂y=N(x,y) entonces g'y= 3y+7
g'ydy= 3y+7dy ⇒gy=3y dy+ 7dy⇒ gy= 32y2+ 7y
Al sustituir gy en la ecuación f(x,y) se obtiene:
fx,y= x2-x+32y2+ 7y

b) (sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y - y) dy = 0Solución: Sea M(x,y) = sen y - y sen x y N(x,y) = cos x + x cos y - y
Se debe verificar ∂M ∂y = ∂N∂x ; en consecuencia:
∂M∂y = (sen y – y sen x)ʹ = cosy – senx ∂N∂x = (cos x + x cos y – y)ʹ = - sen x + cosy
Como ∂M ∂y = ∂N∂x ; entonces la Ecuación Diferencial es una Ecuación Exacta; por lo tanto existe una f(x,y) para que ∂f∂x = M(x,y) = sen y - y sen x y∂f∂y = N(x,y) = cos x + x cos y - y
fx,y= sen y - y sen xdx= senydx- ysenxdx=senydx- ysenxdx
fx,y= xseny+ ycosx+g(y)
∂∂y=xseny+ ycosx+g(y)'= xcosy+cosx+g'(y)
Se iguala ∂∂y=N(x,y) entonces xcosy+cosx+g'y= cosx+xcosy-y
g'y= -y
g'ydy= -ydy ⇒gy=-y dy⇒ gy= - y22
fx,y= xseny+ ycosx- y22
Al sustituir gy en la ecuación f(x,y) se obtiene:

c) x dy dx = 2xex - y+6x2
Solución: x dy dx = 2xex - y+6x2 ⇒ x dy = (2xex - y+6x2 ) dx
⇒ -(2xex- y+6x2) dx+xdy=0 ⇒ (-2xex+ y-6x2) dx+xdy=0
Sea M(x,y) = -2xex+ y-6x2 y N(x,y) = x
Para determinar si la Ecuación Diferencial dada es una Ecuación Exacta, aplicamos el Teorema Criterio para una Ecuación Diferencial Exacta ∂M ∂y = ∂N∂x ; en consecuencia:
∂M∂y = (-2xex+...