Ecuaciones Diferenciales

Derivamos a “y” una vez y obtenemos y’:

Derivamos otra vez, y obtenemos y’’:

Evaluamos la primera condición :

Ecuación 1

Evaluamos la segunda condición :

(Obtenemos elvalor de C3)

Evaluamos la tercera condición :

(Obtenemos el valor de C2)
Sustituyendo C2 en la ecuación 1 obtenemos el valor de C1
entonces
Sustituyendo los valores delas constantes en la solución general, obtenemos la solución particular:


A)
La ecuación auxiliar o ecuación característica es:

Resolviendo la ecuación, hallamos las raíces osoluciones:

Como vemos, las raíces son reales y repetidas, por lo cual la solución general es como sigue:

Ahora evaluamos las condiciones iniciales para hallar la solución particular:
1era condicióny(0)=1:


2da condición y’(0)=2:
Derivamos para obtener y’ y sustituimos valores.



Sustituyendo los valores de C1 y C2 en “y” obtenemos la solución particular:


A)
Primeroresolveremos la ecuación homogénea asociada, es decir sólo la parte de la izquierda igualada a cero, como si fuera un ED homogénea:

La ecuación característica de la ED homogénea es:

Las raíces dela ecuación característica son:
y
Por lo cual la solución de la parte homogénea queda como sigue:

Luego, para obtener la solución de la parte derecha, a la cual llamaremos y que seconoce como solución particular. Para obtenerla, primeramente vemos que tendría que ser de tipo polinomial, de grado 1, cuya forma generalizada es y = Ax + B. Entonces supondremos que la solucióndebería tener la forma siguiente:

Donde A y B son los coeficientes que debemos determinar (De aquí el nombre del método).
Derivando una y dos veces obtenemos a y’ & y’’:
ySustituyendo estos valores en la ED original:

->
De lo anterior planteamos nuestras ecuaciones con los términos semejantes:
Para términos multiplicados por “x”:
Para...