Ecuaciones diferenciales

TALLER N◦ 2: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1.

Clasificación

1. Clasificar cada una de las siguientes ecuaciones dadas a continuación en una o más de las siguientes categorías: *Separación de variables. * Ecuaciones homogéneas. * Ecuaciones exactas. * No pertenece a ninguna de las anteriores. a. 4ydx + xdy = 0 b. (1 + 2y)dx + (4 − x2 )dy = 0 c. (xy 2 + y)dx + (xy 2 − x)dy = 0
yy y d. (x sin x − y cos x )dx + y cos x dy = 0

2.

Variables separables

2. Resuelva la ecuación diferencial respectiva por separación de variables a. b. c. d.
dy dx dy dx dy dx

= sin 5x =(x + 1)2 = e3x+2y

y ln x dx = ( y+1 )2 dy x
dy

e. sin 3xdx + 2y cos3 3xdy = 0 f. dx g.
dQ dt

= = =

xy+3x−y−3 xy−2x+4y−8 U +1 √ s+ sU (y−1)(x−2)(y+3) (x−1)(y−2)(x+3) √

= k(Q − 70)h. ds j. dx
dy

dU

3. Resuelva el problema de valor inicial 1

a. b.

dx dt dy dx

= 4(x2 + 1); =
y 2 −1 x2 −1

x( π ) = 1 4 y(−1) = −1

y(2) = 2

dy c. x2 dx = y − xy;

4.Determine una solución implícita y una explícita del problema de valor inicial respectivo. √ √ a. 1 − y 2 dx − 1 − x2 dy = 0; y(0) = 23 b. (1 + x4 )dy + x(1 + 4y 2 )dx = 0 ; y(1) = 0
dy 5. Encuentre unasolución de la ecuación diferencial x dx = y 2 − y que pase por los puntos indicados. 1 a. (0, 1) b. (0, 0) c. ( 2 , 1 ) a. (2, 1 ) 2 4

6. * a. Muestre que la ecuación diferencial no separable F (x)+ yG(xy) dx + xG(xy)dy = 0 se convierte en separable al cambiar la variable dependiente de y a v de acuerdo a la transformación v = xy b. Use esto para resolver (x2 + sin xy)dx + (x sin xy)dy = 03.

Ecuaciones Homogéneas

7. Encuentre la solución general o particular según el caso a.
dy dx

=

y x

+

y2 ; x2

y(1)= 1

b. xy = y −

x2 + y 2

c. (x − 4y)dx + (3x − 2y)dy =0 √ d. y = 2x + 3y e. y = (x + y)2
dy 8. Resuelva la ecuación dx = 2x+3y+1 si x = X + h y y = Y + k son nuevas variables y h y k son constantes, 3x−2y−5 y luego escoja h y k apropiadamente.

9. *...