Ecuaciones diferenciales

E CUACIONES DIFERENCIALES S ERIES DE F OURIER T RANSFORMADAS DE F OURIER Y L APLACE

Javier P´ rez Gonz´ lez e a
Departamento de An´ lisis Matem´ tico a a Universidad de Granada

septiembre 2006

´ndice general I

1. Numeros complejos. Series. Exponencial compleja ´ 1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.1. Estructura dela leccion y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2. Operaciones b´ sicas con numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ 1.2.0.1. 1.2.0.2. 1.2.0.3. Forma cartesiana de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . ´ Representacion gr´ fica. Complejo conjugado y modulo . . . . . ´ a ´ Forma polar y argumentos de un numero complejo . . . . . . . . ´

1 1 13 3 3 5 6 7 8 10 10 12 16 17 19 20

1.2.1. Formula de De Moivre y ra´ces de un numero complejo . . . . . . . . . . . ´ ı ´ 1.2.1.1. Ra´ces de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı ´

1.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.1. La particularidad del estudio de las series . . . . . . . . . . . . .

1.3.3. Algunos criterios de convergencia para series de t´ rminos positivos . . . e 1.3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I

´ Indice general 1.4.1. La funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ecuaciones Diferenciales 2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.1.1. Estructura de la leccion y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. E.D. de una familia de curvas. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Envolvente de una familia de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Problema de Cauchy. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. M´ todos de resolucion de EDOs de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ´ 2.3.1.Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Ecuaciones homog´ neas . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.6. Tipo y ′ = f ax + by + c αx + βy + γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

20 21 22 22 24 24 24 25 27 28 29 29 30 33 36 37 38 39 39 40 41 41 42 42 42 43 43

2.3.7. Ecuaciones reducibles a exactas. Factores integrantes . . . . . . . . . . . . 2.3.8. Ecuaciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2.3.9. Ecuaciones de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.10. Otras formas de resolver la EDO1 lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. EDO en forma impl´cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2.4.1. Ecuaciones de la forma y = f ( x, y ′ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. EDs de la forma y = f...