Ecuaciones diferenciales

Doc. MIGUEL A. SAMANO RODRIGUEZ
TRIMESTRE 10-I

ALUMNO: JIMÉNEZ RAMÍREZ LEÓN FELIPE

Ecuación diferencial de Bernoulli
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

Donde y son funciones continuas en un intervalo
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Método deresolución
Caso general
Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:

Lleva inmediatamente a las relaciones:

Graciasa esta última relación se puede reescribir (1) como:
(2)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es unaconstante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)
Con .
Caso particular: α =0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)
Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
(5)
Ejemplos:
Pararesolver la ecuación:
1) (*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:
(**)

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:

Si se sustituye (**)en la última expresión y operando:

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

Y seresuelve ahora la ecuación:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :

2)

Solución 
Ésta es una ecuación de Bernoulli con , y . Pararesolverla primero dividamos por

Ahora efectuemos la transformación. Puesto que , la ecuación se transforma en

Simplificando obtenemos la ecuación lineal

Cuya solución es

Y al...