Ecuaciones diferenciales

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Lecci´n 11 o Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

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Ecuaciones de segundo orden
En forma normal: x = f (t, x, x ) Ejemplo: (x )2 − 1 1 =0⇔x = 2tx − x + x 2tx Casos Particulares Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: x = f (t, x ): 2tx − x + 1 =0 x (t = 0)

Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente: x = f (x, x ): 2xx = 1 + (x )2

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M´todo deresoluci´n de los casos particulares e o
Reducci´n del orden mediante cambio de variables: o u=x Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: u como funci´n de t. o u = x ⇒ x = u , x = f (t, x ) ⇒ u = f (t, u) Se resuelve u = f (t, u) y se obtiene u = u(t). Luego se deshace el cambio: x (t) = u(t) ⇒ x(t) = 2tx − x + 1 =0 x u(t) dt. 1 =0 u

(t = 0) ⇒ 2tu − u +

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M´todo deresoluci´n de los casos particulares (cont.) e o
u=x Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente: u como funci´n de x: o d2 x du du dx u=x ⇒x = = = =u ·u dt dt dx dt x = f (x, x ) ⇒ uu = f (x, u) f (x, u) y se obtiene u = u(x). Luego se u deshace el cambio resolviendo x = u(x) (variables separables). Se resuelve u = 2xx = 1 + (x )2 ⇒ 2xuu = 1 + u 2

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Ecuaciones LinealesEcuaci´n lineal de orden n: o x (n) + pn−1 (t)x (n−1) + · · · + p1 x + p0 x = r (t) Caso homog´neo: r (t) = 0 e Caso no homog´neo: r (t) = 0. e M´todo de resoluci´n: Reducci´n a un sistema lineal de primer e o o orden y dimensi´n n mediante el cambio: o x1 = x, x2 = x , x3 = x , . . . , xn = x (n−1)
  x1    x2     x3      x  n−1   xn = x2 = x3 = x4 . . . = xn = −p0 x1 − p1 x2 − . . . −pn−1 xn + r (t)
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Ecuaciones lineales de orden peque˜o n
n = 2: x + p(t)x + q(t)x = r (t), x1 = x, x2 = x :
x1 = x2 x2 = −q(t)x1 − p(t)x2 + r (t) x1 x2 = 0 1 −q(t) −p(t) x1 x2 + 0 r (t)

n = 3: x + p2 (t)x + p1 (t)x + p0 (t)x = r (t), x1 = x, x2 = x , x3 = x :
  x1 = x2 x = x3  2 x3 = −p0 (t)x1 − p1 (t)x2 − p2 (t)x3 + r (t)        x1 0 1 0 x1 0 x 2  =  0 0 1  x 2  +  0 x3 −p0 (t) −p1 (t) −p2 (t) x3 r (t)

6

Ecuaciones Lineales de Orden 2. Caso Homog´no e
x1 = x, x2 = x
x + p(t)x + q(t)x = 0 (1)



„ « „ x1 0 = −q(t) x2

1 −p(t)

«„ « x1 (2) x2

Teorema x(t) soluci´n de (1) si y s´lo si o o x(t) x (t) soluci´n de (2). o

x(t), y (t) soluciones de (1) linealmente independientes si y s´lo si o x(t) y (t) y soluciones linealmente independientesde (2); x (t) y (t) i.e. para alg´n t del intervalo en que p y q son continuas u det W [x, y ](t) = det x(t) y (t) x (t) y (t) x(t) y (t) x (t) y (t) =0

=Wronskiano de x, y en t.
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Soluci´n general de las ecuaciones lineales homog´neas de o e orden 2

x + p(t)x + q(t)x = 0 x(t) = 0 siempre es soluci´n. o Soluci´n general: o x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) siendo x1 (t) y x2 (t) dossoluciones linealmente independientes. Objetivo. Encontrar dos soluciones linealmente independientes.

8

Ecuaciones con coeficientes constantes
x + px + qx = 0 (x = x1 , x = x2 ) Ecuaci´n caracter´ o ıstica: det λ −1 q λ+p = 0 ⇔ λ2 + pλ + q = 0 x1 x2 = 0 1 −q −p x1 x2

La ecuaci´n caracteritica se obtiene al sustituir x por λ2 , x por λ o y x por λ0 = 1 en la ecuaci´n diferencial. o Las ra´caracter´ ıces ısticas de la ecuaci´n diferencial son las ra´ de o ıces la ecuaci´n caracter´ o ıstica = valores propios de la matriz del sistema.

9

Soluci´n General de las ecuaciones lineales de orden 2 de o coeficientes constantes
Supongamos λ2 + pλ + q = (λ − λ1 )(λ − λ2 )
Casos Posibles λ1 = λ2 reales λ1 = a + bi λ2 = a − bi λ1 = λ2 = λ Soluciones Lineal. indep. x1 (t) = e λ1 t x2 (t) = e λ2t x1 (t) = e at cos(bt) x2 (t) = e at sen(bt) x1 (t) = e λt x2 (t) = te λt Soluci´n o General x(t) = c1 e λ1 t + c2 e λ2 t x(t) = e at (c1 cos(bt) + c2 sen(bt)) x(t) = e λt (c1 + c2 t)

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Ecuaciones Lineales no homog´neas e
x + p(t)x + q(t)x = r (t) Soluci´n General: o x(t) = xh (t) + xp (t) xh (t): soluci´n general de x + p(t)x + q(t)x = 0. o xp (t): soluci´n particular de x + p(t)x +...
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