Ecuaciones Exponenciales Y Logaritmicas

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
1.- Resuelve en las ecuaciones exponenciales y comprueba los resultados:
1) 52 x 1  25
3

x 2  14

8) 3x +31-x =4
9) 4e -3x -5e -x+ex =0

4x+1+2x+3 -320=0
32(x+1) -28·3x +3 =0
5x -97·5x/2 +64 =0
10 3-x = 1
22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984

2)
3)
4)
5)
6)

2x-1+2x-2 +2x-3 +2x-4 =960

7)

10) 21x 
2

1
8

11) 2x-1+ 2x +2x+1 = 7

2.- Resuelve enlos sistemas:
 lg x  lg y  2
x  y  20


x
y 1

1)  3  5 x12  6 y  807


 15  5

6

5) 

 339

 lg x  lg y  1
x  y  22


 lg x  lg y  3
2 lg x  2 lg y  1

6) 

lg x  lg y  lg 56  lg 20
lg x  lg y  1  lg 20

7)  x
lg ( x  3)  1 / 2

lg y (9  x)  1 / 2
lg x ( y  9)  2

y

8)  lgx2 (3  1y)  x

2) 

 lg ( y  18)  2

3) 

 y

4) 


3  2 2  3  6

3.- Resuelve en las ecuaciones logarítmicas:
1) (x2-5x+9)lg2+lg125=3
2) lg(22-x)2+x+lg1250=4
3)

6) 3lgx -lg32 =lg(x/2)
7) lg 2 x · lg x 2x · lg 2x y = lg x x2

lg 2  lg (11  x 2 )
2
lg(5  x)

x
2

10) lg 3x  1  lg 2 x  3  1  lg 5

5) lg x  x 2  1   lg x  x 2  1   0 ; x  1


32
9

9) 2lg x =3 + lg (x/10)

4) (x2-4x+7)lg5+lg16=4


x
3

8) 5 lg  2 lg  3 lg x lg





ECUACIONES EXPONENCIALES
1.-.Resuelve las ecuaciones exponenciales y comprueba los resultados:
Soluciones

1) 52 x 1  25
3

x 2  14

Soluciones

7)

x1 =1/2 y x2 =1/5

2) 4x+1+2x+3 -320=0

x=3

3) 32(x+1) -28·3x +3 =0**

x1 =1, x2 =-2

4) 5x -97·5x/2 +64 =0**

x1 =8lg52, x2 =8lg53

3-x

5) 10 = 1*
6) 22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984

2x-1+2x-2 +2x-3 +2x-4 =960***
x

1-x

8)3 +3

9)

-3x

4e

x=0

-x

x1 =0 , x2 =1
x

-5e +e =0

10) 21x 
2

=4**
1
*
8

x1=2, x2=-2

11) 2x-1+ 2x +2x+1 = 7***

x=5

x =10

x =1

Resolución:
2 x 1

1) 5

3

 25

x 2  14

5

2 x 1

x2  1

 25

4

3

5

2 x 1

 

 5

2

x2  1

4

3

5

2 x 1

x2  1
2 3 4
5

x 2  14
 2x 1  2 

3

1





3  2 x  1  2  x 2  14  6 x  3  2  x 2  12  12x  6  4 x 2  1 4 x 2  12 x¡5  0  x  12 ó x  52
Existen dos soluciones, x1 =1/2 y x2 =1/5

*De forma análoga se resuelven los ejercicios 5) y 11).
4x+1+2x+3 -320=0  (22)x+1 +2x ·23 –320 =0 22x+2 +2x ·23 –320 =0  22x ·22 +2x ·23 –320 =0

2)


 t  8  2x
4t2 +8t-320=0  t2 +2t –80 = 0  1
x

 t 2  10  2

22x ·22 +2x ·23 –320 =0  4·22x +8·2x –320 =0
Realizamos el cambio 2x =t, con lo que 22x =(2x)2=t2
Existe una única solución real: x =3

**De forma análoga se resuelven los ejercicios 3) , 4) y 8).
6) 22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984  22x+22x ·2 -1 +22x ·2 -2 +22x ·2 -3 +22x ·2 -4=1984 
22x 22x 22x 22x
22x 22x 22x 22x
 2  3  4  1984  2 2 x 



 1984
2
2
4
8
16
2
2
2
t t t t
t      1984  16t  8t  4t  2t  t  1984 16  31t  1984 16  t  64 16  2 6  2 4 210
2 4 8 16
Realizamos el cambio 22x =, t
22x 

t=22x =210 2x=10  x = 5

***De forma análoga se resuelven los ejercicios 7) y 11).
-3x

-x

x

4
5

 ex  0
e3x e x
Realizamos el cambio ex =t, con lo que t e3x =t3, y resolvemos la ecuación:
4 5
  t  0  4  5t 2  t 3  0  t 3  5t 2  4  0  (t  1) (t 2  4t  4)  0
t3 t

9) 4e

-5e +e =0



Las soluciones de esta ecuación son: t1 1, t 2  2  2 2 , t 3  2  2 2
De donde obtenemos dos soluciones reales de la ecuación dada:
t1  1  e x  x 1  0;





t 2  2  2 2  e x  x 2  ln 2  2 2 ; t 3  2  2 2  2 x no tiene solución real .

SISTEMAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS
2.- Resuelve en los sistemas:
Soluciones
x
y 1

1)  3  5 x12  6 y  807


 15  5

6

 339

 lg x  lg y  3
2 lg x  2 lg y  1

2)

lg x  lg y  lg 56  lg 20
lg x  lg y  1  lg 20

3) 

lg y (9  x)  1 / 2
lg x ( y  9)  2

4) 

Soluciones

 lg x  lg y  2
x  y  20


x=3, y=2

5) 

x=105/4, y=107/4

6) 

 lg x  lg y  1
x  y  22

 lg ( y  18)  2

x=4·351/2, y=(10/7)·351/2

x=5, y=16

x=10+101/2, y=-10+101/2

x=20, y=2

7)  x
lg ( x  3)  1 / 2

x=3/2, y=81/4

y

8)  lgx2 (3  1y)  x...