ecuaciones e inecuaciones

Tema 4. Ecuaciones e Inecuaciones.
1. Ecuaciones con una incógnita.
1.1. Ecuaciones de primer grado
1.2. Ecuaciones de segundo grado
1.3. Ecuaciones bicuadráticas
1.4. Ecuaciones polinómicas
1.5. Ecuaciones con radicales.
1.6. Ecuaciones de fracciones polinómicas.
2. Ecuaciones lineales con dos incógnitas
3. Sistema de ecuaciones
3.1. Dos ecuaciones lineales
3.1.1. Soluciones.Interpretación gráfica
3.1.2. Resolución de 2 ecuaciones lineales.
3.2. Sistemas no lineales de dos incógnitas
4. Inecuaciones lineales
4.1. Inecuaciones lineales con una incógnita
4.2. Inecuaciones lineales con dos incógnitas
4.3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
4.4. Inecuaciones polinómicas y facciones algebraicas
4.4.1. Inecuaciones polinómicas
4.4.2. Inecuaciones de fraccionesalgebraicas.
5. Sistemas de inecuaciones lineales
5.1. Una incógnita
5.2. Dos incógnitas

Tema 4. Ecuaciones, sistemas, inecuaciones.

1. Ecuaciones con una incógnita.
En mucha de las situaciones de la vida diaria se plantean problemas que se pueden
resolver a partir de ecuaciones. Por ejemplo, si queremos saber el lado de un jardín
cuadrado de 100m2:
x=lado

área=x2=100m2

x=100m 2 = 10m

1.1 Ecuaciones de primer grado
Son las mas sencillas de resolver, a partir de las operaciones de simplificación
obtendremos una expresión de la forma
a·x+b=0 donde a y b son números reales. Cuya solución es única x=-b/a
Ejemplo:
3( x + 1)
x − 4 9( x + 1) 6 x 2·( x − 4)
9x+9-6x=2x-8
−x=
−
=
2
3
6
6
6
3( −17 + 1)
− 17 − 4
Comprobación:
− 24 + 17 = −7
− ( −17) =
2
3x=-17

Ejercicio 1. Resolver:
x−3
5− x
+7 = x−
2
3
− 3(5 − x ) 3 x
5x
b)
−
=7−
10
2
3

a)

1.2 Ecuaciones de segundo grado
Después de operar la expresión simplificada de ecuaciones de segundo grado es de
la forma:
2

a·x +bx+c=0.

− b ± b 2 − 4ac
solución: x =
2·a

Podemos ver que según el signo del discrimínate ∆ = b 2 − 4ac podemos tener 1,2
o ninguna solución:−b+ ∆
−b− ∆
,x=
2·a
2·a
−b
b) ∆ =0 una solución x =
(raíz doble)
2·a
c) ∆ 0 dos soluciones x =

Resolución de ecuaciones incompletas (b o c nulas). Se pueden resolver por el
método general, pero también se puede resolver de manera más sencilla. Veamos los
dos casos:

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2

Tema 4. Ecuaciones, sistemas, inecuaciones.1) ax2+c=0
2) ax2+bx=0

 c
c  si a > 0 no solución
c
2
x=± − 
x =−
a si c < 0 2 soluciones
a
 a
x(ax+b)=0 x=0, x=-b/a. Siempre dos soluciones

Ejercicio 2. Resolver:
a) x2-6√2x+18=0
b) 2x2-7x+3=0
x + 7 x 2 − 3x + 6
+
c)
=1
x + 3 x 2 + 2x − 3
x +1 1− x 5
d)
+
=
x+5 x−4 2
e) (x-√3)2-1+x=x
f) 1+(x-2)2=1
g) 9x2-25=0
h) x2-2x=0
1.3 Ecuaciones bicuadradasEcuaciones polinómicas de 4º grado sin términos impar, es decir de la forma:

ax4+bx2+c=0. con a,b,c∈R
Procedimiento para resolver las ecuaciones bicuadráticas:
1. Cambio variable: x2=t, luego x4=t2

at2+bt+c=0

2. Resolver la ecuación de segundo grado en t.
3. Soluciones son las raíces cuadradas de las soluciones en t (deshacer cambio
variable). x = ± t .
El número de posibles soluciones son:a) 0 soluciones, o no soluciones en t o son negativas.
b) 2 soluciones distintas
c) 2 soluciones dobles
d) 4 soluciones distintas

Ejemplo: x4-5x2+4=0
Paso1: x2=t t2-5t+4=0
4
5 ± 25 − 16 5 ± 3
Paso2: t =
=
=
1
2
2
Paso3 : x = 2,−2,1,−1

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3

Tema 4. Ecuaciones, sistemas, inecuaciones.

Ejercicio 3 : Resolver lassiguientes ecuaciones bicuadráticas.
a) x4-x2-6=0
b) x4-3x2+2=0
c) –x4-4x2-45=0
1.4 Ecuaciones polinómicas
Las ecuaciones polinómicas son expresiones de la forma p(x)=0 con p(x) un
polinomio. Consiste en obtener los valores de x que anulan el polinomio, es decir las
raíces. Las formas de proceder a calcular las soluciones son las mismas que las de
obtener las raíces, vistas en el tema...