Ejercicios ecuaciones e inecuaciones
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Encuentre una de las soluciones reales de las ecuaciones:
a. ඥ(2x + 3) + ඥ(5 − 8x) = ඥ(4x + 7);
Respuesta: X = 1/2
Solución
Elevando todo al cuadrado se obtiene:
ଶ
ൣ√2x + 3 + √5 − 8x൧ = ൣ√4x + 7൧
ଶ
Lo de la derecha es la propiedad algebraica: ()ܽ + ݔଶ = ( ݔଶ + ࢇ࢞ + ܽଶ )
ଶ
ଶ
൫√2x + 3൯ + ൫√ +ܠ൯ ൫√ − ૡܠ൯ + ൫√5 − 8x൯ = 4x + 7
ଶ
Aplicando la propiedad: √a = a
ଶ
Se obtiene por ejemplo ൫√2x + 3൯ = 2x + 3
2x + 3 + ൫√ + ܠ൯ ൫√ − ૡܠ൯ + 5 − 8x = 4x + 7
−6x + ൫√ + ܠ൯ ൫√ − ૡܠ൯ + 8 = 47 + ݔ
Sumando términos comunes queda:
2 ൫√2x + 3൯ ൫√5 − 8x൯ = 10x − 1
Aplicando la propiedad de raíces √a • √b = √a • b
2 ඥ(21 − ݔ01 = )ݔ8 − 5()3 + ݔResolviendo el producto dentro de la raíz
2 √−16 ݔଶ − 141 − ݔ01 = 51 + ݔ
Elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado
ଶ
ቂ2 ඥ−16 ݔଶ − 1451 + ݔቃ = (10)1 − ݔଶ
Resolviendo los términos
4(−16 ݔଶ − 14 ݔ001 = )51 + ݔଶ − 201 + ݔ
ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
−64 ݔଶ െ 56 ݔ 60 ൌ 100 ݔଶ െ 20 ݔ 1
Sumando términos semejantes y pasándolos todos a laizquierda:
െ164 ݔଶ െ 36 ݔ 59 ൌ 0
Al multiplicar por -1 la ecuación queda:
164 ݔଶ 36 ݔെ 59 ൌ 0
Factorizando: ሺ2 ݔെ 1ሻሺ82 ݔ 59ሻ ൌ 0
Al despejar x se obtiene:
Por tanto una de la solución es
b.
ݔൌ 1/2 ó ݔൌ െ59/82
ܠൌ /
(1) (2)
3x (x + 2) + x = 2x (x + 10) + 5 (x – 10) - 27;
Respuesta: +X =7 o X =11
Solución3x ଶ 6 ݔ ݔൌ 2x ଶ 20 ݔ ݔെ 50 െ 27
x ଶ െ 18 ݔ 77 ൌ 0
ሺ ݔെ 7ሻሺ ݔെ 11ሻ ൌ 0→ X=7 o X=11
2. Resuelva los siguientes problemas y halle el conjunto solución:
a. La diferencia de los cuadrados de (5 +7x) y (1 - 8x) vale 79. Hallar el valor de x.
Respuesta: = ܠ ; = ܠ/
Solución
(5 7xሻଶ െ ሺ1 െ 8xሻଶ ൌ 79ሺ49x ଶ 70x 25ሻ െ ሺ64x ଶ െ 16x 1ሻ ൌ 79
49x ଶ 70x 25 െ 64x ଶ 16x െ 1 ൌ 79
െ15x ଶ 86x െ 55 ൌ 0
Multiplicando todo por -1:
15x ଶ െ 86x 55 ൌ 0
Factorizando:
ሺx െ 5ሻሺ15x െ 11ሻ ൌ 0
Entonces ܠൌ ó ܠൌ /
2
ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA YGEOMETRÍA ANALÍTICA
b. Cuál es el valor conveniente para “b”, tal que la ecuación x2 – b x + 24 = 0 y que una de
las raíces sea 6.
Respuesta: b =
Solución
Como una de las soluciones es 6, indica que x = 6, luego, evaluando éste valor en la
ecuación dada y factorizando para despejar b se obtiene:
x2 – bx + 24 = 0
62 - 6b + 24 = 0 → 36 - 6b + 24 = 0
60 - 6b = 0
6(10-b) = 0 → 10- b = 0 → b=103. Resuelva las siguientes inecuaciones y halle el conjunto solución
a.
5
1
1
ሺ3 െ ݔሻ െ ሺ ݔെ 4ሻ ሺ2 ݔെ 3ሻ െ ݔ
6
2
3
Respuesta: ܠ /2
Solución
Desarrollando el producto entre los números fraccionarios y los términos de paréntesis
5 ݔ
14 • 1 ݔ
1 • 23 ݔ
5•3
െ
െ
െ െݔ
6 6 2
2
3
3
Simplificando numeradores ydenominadores
5•3
5 ݔ
14 • 1 ݔ
1 • 23 ݔ
െ
െ
െ െݔ
2
3
3
6 6 2
2ݔ
5 5 ݔ1 ݔ
െ
െ
2 െ 1 െ ݔ
3
2 6 2
Agrupando términos semejantes a cada lado de la inecuación
5
2ݔ1 ݔ 5 ݔ
2 1
െݔ
3 6 2
2
Haciendo la suma de fraccionarios
5 4 2 4 ݔ 5 ݔ 3 ݔെ 6ݔ
11
6
11
→ → ݔ
ݔ2
6
2
6
2
3
ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Al pasar la x al lado contrario cambia el sentido de la desigualdad:
b.
3ሺ ݔെ 5ሻଶ െ 12 0
x ≤ 11/2
Respuesta: (−∞, ሿ ∪ ሾૠ, +∞)
Solución FORMA ❶ (3) (4)
3ሺx ଶ െ 10x 25ሻ െ 12 0
3x ଶ െ 30x 75 െ 12 0
3x ଶ െ 30x 63 0
Factorizando:...
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