Ecuaciones y desigualdades
Páginas: 25 (6090 palabras)
Publicado: 2 de mayo de 2011
ECUACIONES
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con área 1.200[pic] tal que la base es el doble de la altura?
Una persona recibe un salario de 100UM más un 4% sobre las ventas mensuales. Otra persona no recibe salario pero en cambio se le da una bonificación del 8% sobre las ventas mensuales. ¿Cuál es el nivel de ventas para el cuál las dos personas reciben el mismoingreso al mes?
Estos tipos de problemas pueden ser resueltos planteando una ecuación. Podremos analizar posteriormente que si x representa el nivel de ventas mensuales donde se alcanza la igualdad de ingresos entonces la ecuación que resuelve este problema está dada por: [pic].
Las ecuaciones son protagonistas en las resoluciones de muchos problemas de aplicaciones perotambién son piezas claves para conseguir ciertos resultados en cálculo. Es por consiguiente una herramienta que el estudiante debe dominar.
Una ecuación en una variable es un enunciado de igualdad entre dos expresiones algebraicas en la variable.
Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de ecuaciones
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Estos son ejemplos de ecuaciones enuna variable. En los ejemplos a, d y e la variable es x. En b la variable es t y en c la variable es r. Las expresiones que están al lado del signo de igualdad se llaman miembros de una ecuación.
Se dice que a es una solución o raíz de una ecuación si es un valor de x que hace que la ecuación sea una proposición verdadera.
5 es una raíz o una solución de la ecuación del ejemploa, por cierto es la única solución.
1 y -3 son raíces de la segunda ecuación.
Resolver una ecuación consiste en encontrar todos los valores de x que son solución de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones es llamado el conjunto solución. A veces se usa la terminología incógnita para referirse a la variable.
Para resolver una ecuación normalmente realizamos unaserie de pasos, de acuerdo a la característica de la ecuación. Debemos estar claros si los pasos que realicemos nos conducen a una ecuación con las mismas soluciones o no que la original. Si después de realizar operaciones en las ecuaciones obtenemos otra con las mismas soluciones que la original diremos que ambas ecuaciones son equivalentes.
Existen operaciones que garantizan que vamos aobtener ecuaciones equivalentes a la original como:
1) Sumar o restar el mismo polinomio a ambos lados de la ecuación.
2) Multiplicar o dividir por una constante distinta de cero ambos miembros de la ecuación.
3) Sustituir una expresión por otra equivalente.
Hay operaciones que pueden agregar solución:
1) Multiplicar por un polinomio ambos miembros de la ecuación.
Ejemplo: Si en laecuación [pic] cuya única solución es 5, multiplicamos por (x-1) ambos lados de la ecuación, nos queda la ecuación
[pic],
Esta última ecuación tiene como soluciones 5 y 1. Se agregó una solución.
2) Elevar al cuadrado o a una potencia par ambos lados de una ecuación.
Ejemplo: Si en la ecuación [pic], cuya solución es explícita: 1, elevamos ambos miembros al cuadrado nos queda [pic], ellector puede verificar que las soluciones de esta última son -1 y 1. De nuevo se agregó una solución: -1 que no satisface la original. Las ecuaciones [pic] y [pic] no son equivalentes.
No siempre se agrega solución, Por ejemplo la ecuación [pic] tiene como única solución [pic]. Si se eleva al cuadrado ambos miembros queda la ecuación [pic] donde la solución es explícita y la misma que laoriginal. Las ecuaciones [pic] y [pic] son equivalentes.
En algunos métodos de resolución hay que realizar estas operaciones. En este caso se debe verificar siempre las soluciones encontradas para ver si fueron soluciones añadidas. En el caso de multiplicar por un polinomio, las posibles soluciones añadidas son las raíces del polinomio. Observe como al multiplicar en la ecuación...
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con área 1.200[pic] tal que la base es el doble de la altura?
Una persona recibe un salario de 100UM más un 4% sobre las ventas mensuales. Otra persona no recibe salario pero en cambio se le da una bonificación del 8% sobre las ventas mensuales. ¿Cuál es el nivel de ventas para el cuál las dos personas reciben el mismoingreso al mes?
Estos tipos de problemas pueden ser resueltos planteando una ecuación. Podremos analizar posteriormente que si x representa el nivel de ventas mensuales donde se alcanza la igualdad de ingresos entonces la ecuación que resuelve este problema está dada por: [pic].
Las ecuaciones son protagonistas en las resoluciones de muchos problemas de aplicaciones perotambién son piezas claves para conseguir ciertos resultados en cálculo. Es por consiguiente una herramienta que el estudiante debe dominar.
Una ecuación en una variable es un enunciado de igualdad entre dos expresiones algebraicas en la variable.
Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de ecuaciones
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Estos son ejemplos de ecuaciones enuna variable. En los ejemplos a, d y e la variable es x. En b la variable es t y en c la variable es r. Las expresiones que están al lado del signo de igualdad se llaman miembros de una ecuación.
Se dice que a es una solución o raíz de una ecuación si es un valor de x que hace que la ecuación sea una proposición verdadera.
5 es una raíz o una solución de la ecuación del ejemploa, por cierto es la única solución.
1 y -3 son raíces de la segunda ecuación.
Resolver una ecuación consiste en encontrar todos los valores de x que son solución de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones es llamado el conjunto solución. A veces se usa la terminología incógnita para referirse a la variable.
Para resolver una ecuación normalmente realizamos unaserie de pasos, de acuerdo a la característica de la ecuación. Debemos estar claros si los pasos que realicemos nos conducen a una ecuación con las mismas soluciones o no que la original. Si después de realizar operaciones en las ecuaciones obtenemos otra con las mismas soluciones que la original diremos que ambas ecuaciones son equivalentes.
Existen operaciones que garantizan que vamos aobtener ecuaciones equivalentes a la original como:
1) Sumar o restar el mismo polinomio a ambos lados de la ecuación.
2) Multiplicar o dividir por una constante distinta de cero ambos miembros de la ecuación.
3) Sustituir una expresión por otra equivalente.
Hay operaciones que pueden agregar solución:
1) Multiplicar por un polinomio ambos miembros de la ecuación.
Ejemplo: Si en laecuación [pic] cuya única solución es 5, multiplicamos por (x-1) ambos lados de la ecuación, nos queda la ecuación
[pic],
Esta última ecuación tiene como soluciones 5 y 1. Se agregó una solución.
2) Elevar al cuadrado o a una potencia par ambos lados de una ecuación.
Ejemplo: Si en la ecuación [pic], cuya solución es explícita: 1, elevamos ambos miembros al cuadrado nos queda [pic], ellector puede verificar que las soluciones de esta última son -1 y 1. De nuevo se agregó una solución: -1 que no satisface la original. Las ecuaciones [pic] y [pic] no son equivalentes.
No siempre se agrega solución, Por ejemplo la ecuación [pic] tiene como única solución [pic]. Si se eleva al cuadrado ambos miembros queda la ecuación [pic] donde la solución es explícita y la misma que laoriginal. Las ecuaciones [pic] y [pic] son equivalentes.
En algunos métodos de resolución hay que realizar estas operaciones. En este caso se debe verificar siempre las soluciones encontradas para ver si fueron soluciones añadidas. En el caso de multiplicar por un polinomio, las posibles soluciones añadidas son las raíces del polinomio. Observe como al multiplicar en la ecuación...
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