Ecuaciones y Sistemas De Ecuaciones Exponenciales

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.
 
No hay ninguna fórmula general que indiquecómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.
 
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados ypropiedades:
 
1. ax = ay ⇔ x = y
 
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
 
[pic] [pic] [pic]
 El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.
 
 
Ejercicio:
[pic]
 
Resolución:
 
[pic][pic]
 
• Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado.
1 - x2 = -3 → x2 = 4 → x = ± 2
 
? Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320
 
Resolución:
 
En algunas ecuaciones esnecesario hacer un cambio de variable para su resolución.
 
· Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:
 
4 · 4x + 23·2x = 320 → 4 · 4x + 8·2x =320
 
• Expresando 4x como potencia de dos,
 
4 · 22x + 8 · 2x = 320
 
• Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 22x = y2) y se obtiene:
4y2 + 8y = 320
 • Basta ahora con resolver esta ecuación:
y2 + 2y - 80 = 0
 
[pic]
 
• Se deshace ahora el cambio y = 2x
 
y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifiqueesta condición (2x es siempre positivo)
 
y2 = 8 = 2x → x = 3
 
• La solución es, por tanto, x = 3
 
? Resolver 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651
 
Resolución:
 
• Aplicando laspropiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como
5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651
 
• Sacando factor común 5x:
5x (1 + 52 + 54) = 651
5x·651 = 651 → 5x = 1 → x...