Ecuaciones

desigualdades y ecuaciones con valor absoluto

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Ecuaciones Lineales y Desigualdades con Valor Absoluto
La resoluci´ n de ecuaciones y de desigualdades de primer grado con valor absoluto, requiere de dos o procedimientos (Caso 1 y Caso 2), en que se utilizan las mismas leyes de una ecuaci´ n y de una inecuaci´ n o o lineal normal. Definici´ n de Valor Absoluto o El valor absoluto de un n´mero real x se denota por |x| y se define como sigue: u |x| = x, si x ≥ 0 −x, si x < 0

Veremos ahora unos teoremas que nos servir´ n para resolver las ecuaciones. a Teorema 1: Para cualquier n´ mero real x: u

1. |x| ≥ 0 2. |x| = 0 ←→ x = 0 3. |x|2 = x2 4. √ x2 = |x|

5. −|x| ≤ x ≤ |x|

Teorema 2: Para cualquieras n´ meros reales x y a: u
  

|x| = a ←→

a≥0 y   x = a y/o x = −aTeorema 3: Para cualquieras n´ meros reales x y a: u |x| = |a| ←→ (x = a y/o x = −a)

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Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez a a

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Teorema 4: Para cualquieras n´ meros reales x y a: u 1. |x| ≤ a ←→ −a ≤ x ≤ a 2. |x| ≥ a ←→ x ≤ −a ∨ a ≤ x Teorema 5: Para cualquieras n´ meros reales x y a: u

1. |x + a| ≤ |x| + |a| 2. |x · a|= |x| · |a|

Ejemplo 1: Resolver la ecuaci´ n |x − 8| = 12. o Soluci´ n: por el Teorema 2, la primera desigualdad es obvia (12 ≥ 0). Por la segunda desigualdad o tenemos dos casos para analizar

Caso 1: Si x − 8 ≥ 0 entonces, |x − 8| = x − 8. x-8=12 x=12+8 x=20

Caso 2: Si x − 8 < 0 entonces, |x − 8| = −(x − 8). -(x-8)=12 x-8=-12 x=-12+8 x=-4

Ahora bien la soluci´ n; S={x/ |x − 8| = 12}={-4,20} o Ejemplo 2: Resolver la ecuaci´ n: |2x + 1| = x + 3. o Soluci´ n: por el Teorema 2, tenemos las siguientes opciones. o |2x + 1| = x + 3 ←→
  

x+3≥0 y   2x + 1 = x + 3 y/o 2x + 1 = −(x + 3)

Por la primera desigualdad, claramente x tiene que ser mayor que -3. x+3≥0 x ≥ −3.

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Caso 1:

Caso 2: 2x+1=-(x+3)

2x+1=x+32x+1=-x-3 2x+x=-3-1 3x=-4

2x-x=3-1

x=2

x= −4 3

4 Tanto x = − 3 como x=2, cumplen la primera desigualdad.

La soluci´ n es: S={x/|2x + 1|=x+3 }={ −4 ,2 }. o 3 Ejemplo 3: Resolver la ecuaci´ n |x − 2| = 3x − 9. o Soluci´ n: por el Teorema 2, tenemos las situaciones o 3x − 9 ≥ 0 |x − 2| = 3x − 9 ←→ y   x − 2 = 3x − 9 y/o x − 2 = −(3x − 9) De la primera desigualdad tenemos que 3x − 9 ≥ 0y despejando obtenemos x ≥ 3. Esta desigualdad es fundamental para establecer que valores sirven como soluci´ n. o
  

Caso 1: x-2=3x-9 x-3x=-9+2

Caso 2: x-2=-(3x-9) x-2=-3x+9 x+3x=9+2

-2x=-7
7 x= 2 .

4x=11 x= 11 . 4
11 4

o De estas dos soluciones solo 7 cumple que sea mayor que 3. La soluci´ n 2
7 S={x/ |x − 2|=3x-9 }={ 2 }.

es menor que 3 y se descarta.

desigualdadesy ecuaciones con valor absoluto Ejemplo 4: Resolver la desigualdad |x + 12| ≤ 4. Soluci´ n: por el Teorema 4, parte 1, tenemos las siguientes opciones. o

4

|x + 12| ≤ 4 ←→ −4 ≤ x + 12 ≤ 4 restando 12 a los tres t´ rminos, tenemos e

−4 − 12 ≤ x + 12 − 12 ≤ 4 − 12 −16 ≤ x ≤ −8 lo que es equivalente a x ∈ [−16, −8] y la soluci´ n finalmente S=[-16,-8]. o Ejemplo 5: Resolver la desigualdad |x− 9| ≥ 14. Soluci´ n: por el Teorema 4, parte 2, tenemos las siguientes opciones. o

Caso 1: x − 9 ≤ −14 x ≤ −14 + 9 x ≤ −5 x ∈] − ∞, −5] S1 =] − ∞, −5] La soluci´ n global es: S =] − ∞, −5] [23, +∞[ o

Caso 2: 14 ≤ x − 9 14 + 9 ≤ x 23 ≤ x x ∈ [23, +∞[ S2 = [23, +∞[

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EJERCICIOS
Determinar las soluciones de las ecuaciones y de lasdesigualdades dadas. 1. |x − 4| = 3 2. |x − 5| = 16 3. |2x + 3| = 7 4. |3x| = 6 5. |x − 2| = 3 6. |2x − 3| = 9 7. |x − 1| = 2x − 1 8. |3x + 2| = 5 − x 9. |5x + 4| = 2x + 1 10. | − 6x + 1| = 4x − 7 11. |x + 4| = |x + 2| 12. |x − 4| = |x − 2| 13. |3 − x| = |1 + x| 14. |x + 3| < 8 15. |x − 6| < 4 16. |x − 1| > 5 17. |2x − 5| ≥ 3 18. |2x − 3| < 5 19. |3x − 5| > 4 20. |4x − 3| ≥ 1 21. |3x + 1| > 15 22. |...